Use algum artifício algébrico e determine cada integral:
integralpi / 3^pi / 2 sen(3 theta) cos (3 theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integralpi/3^pi/2sin(3theta)cos(3theta),dtheta. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidade de ângulo duplo para simplificar o integrando.

Passo 2

Usamos a identidade sin(x)cos(x)=tfrac12sin(2x). Assim temos
sin(3theta)cos(3theta)=tfrac12sin(6theta)

Passo 3

Substituindo no integrando, a integral vira
integralpi/3^pi/2tfrac12sin(6theta),dtheta
A antiderivada de sin(6theta) é -tfrac16cos(6theta). Logo, a antiderivada do integrando é
-tfrac12cdottfrac16cos(6theta)=-tfrac112cos(6theta)

Passo 4

Avaliamo esta expressão nos limites de theta=pi/3 e theta=pi/2:
l[-tfrac112cos(6theta)r]pi/3^pi/2=-tfrac112l(cos(3pi)-cos(2pi)r)=-tfrac112l((-1)-1r)=tfrac16

Resposta

tfrac16

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