Use a aproximação linear para estimar f(1,02,0,99), onde f(x, y)=x^2 y+x y^3+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{2} y + x y^{3} + 1 $ e queremos estimar o valor de $ f(1,02, 0,99) $ usando a aproximação linear. Isso significa que vamos usar uma reta (ou plano, no caso de duas variáveis) para aproximar o valor da função perto de um ponto conhecido. Para isso, vamos precisar calcular a função no ponto base e suas derivadas parciais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um ponto fácil próximo de $ (1,02, 0,99) $ para fazer os cálculos. Vamos usar o ponto $ (1,1) $, que é bem próximo e mais simples de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto $ (1,1) $:
(1,1)
Então, $ f(1,1) = 3 $.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Vamos calcular $ f_x $ e $ f_y $.
Para $ f_x $:
x
No ponto $ (1,1) $:
y
Para $ f_y $:
fx
No ponto $ (1,1) $:
fy

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da aproximação linear:
f(a + De
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $, $ \Delta x = 1,02 - 1 = 0,02 $ e $ \Delta y = 0,99 - 1 = -0,01 $.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
f(1,02, 0,99) approx 3 + 3 cdot 0,02 + 4 cdot (-0,01) = 3 + 0,06 - 0,04 = 3,02

Resposta

A estimativa de $ f(1,02, 0,99) $ usando a aproximação linear é aproximadamente 3,02.

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