Use a aproximação linear para estimar
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{2} y + x y^{3} + 1 $ e queremos estimar o valor de $ f(1,02, 0,99) $ usando a aproximação linear. Isso significa que vamos usar uma reta (ou plano, no caso de duas variáveis) para aproximar o valor da função perto de um ponto conhecido. Para isso, vamos precisar calcular a função no ponto base e suas derivadas parciais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um ponto fácil próximo de $ (1,02, 0,99) $ para fazer os cálculos. Vamos usar o ponto $ (1,1) $, que é bem próximo e mais simples de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função no ponto $ (1,1) $:
Então, $ f(1,1) = 3 $.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Vamos calcular $ f_x $ e $ f_y $.
Para $ f_x $:
No ponto $ (1,1) $:
Para $ f_y $:
No ponto $ (1,1) $:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da aproximação linear:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $, $ \Delta x = 1,02 - 1 = 0,02 $ e $ \Delta y = 0,99 - 1 = -0,01 $.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
A estimativa de $ f(1,02, 0,99) $ usando a aproximação linear é aproximadamente 3,02.