Determine qual é a superfície quádrica representada pela equação em cada caso, justificando suas respostas.
x^2-y-z^2=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície quadrática dada por x^2 - y - z^2 = 0. O conteúdo envolve classificação de superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide, paraboloide etc.) e vamos usar a ideia de forma canônica e seções transversais para reconhecer o tipo.

Passo 2

Isolamos y para escrever a equação numa forma mais explícita. Assim temos:
y = x^2 - z^2

Passo 3

Na teoria de quádricas, quando uma variável aparece ao primeiro grau (aqui y) e as outras duas ao segundo grau com sinais opostos, estamos diante de um paraboloide do tipo hiperbólico.
Para consolidar, vamos analisar seções planas:
  • Para y = k fixo, a equação fica x^2 - z^2 = k, que é uma hipérbole no plano (x,z).
  • Para x = c fixo, obtemos y = c^2 - z^2, que é uma parábola no plano (y,z).
  • Para z = d fixo, temos y = x^2 - d^2, que é uma parábola no plano (x,y).
    Essas seções mostram que numa direção temos curvas hiperbólicas e em outras parábolas com curvaturas opostas, característica do paraboloide hiperbólico.

Resposta

um paraboloide hiperbólico

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