Determine qual é a superfície quádrica representada pela equação em cada caso, justificando suas respostas.
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a superfície quadrática dada por
. O conteúdo envolve classificação de superfícies quádricas (elipsoide, hiperboloide, paraboloide etc.) e vamos usar a ideia de forma canônica e seções transversais para reconhecer o tipo.
Passo 2
Isolamos
para escrever a equação numa forma mais explícita. Assim temos:
Passo 3
Na teoria de quádricas, quando uma variável aparece ao primeiro grau (aqui
) e as outras duas ao segundo grau com sinais opostos, estamos diante de um paraboloide do tipo hiperbólico.
Para consolidar, vamos analisar seções planas:
Para consolidar, vamos analisar seções planas:
- Para
fixo, a equação fica , que é uma hipérbole no plano . - Para
fixo, obtemos , que é uma parábola no plano . - Para
fixo, temos , que é uma parábola no plano .
Essas seções mostram que numa direção temos curvas hiperbólicas e em outras parábolas com curvaturas opostas, característica do paraboloide hiperbólico.
Resposta
um paraboloide hiperbólico