Exercício 7. (Apostol seção 4.4 exercícios 5, 7, 8, 9) Para cada uma das situações abaixo, considere V um espaço vetorial, T: V V uma transformação linear e ache os autovalores e autovetores de T :
V=C^infty(] 0,1[), T f=t d fd t.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores lambda e autovetores não nulos fin V da transformação linear
Tcolon Vto V, T(f)(t)=t,f'(t),
onde V=C^infty((0,1)). Para isso vamos escrever a condição de autovetor e resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

A condição de autovetor é
T(f)(t)=lambda,f(t),
isto é, para todo tin(0,1) vale
t,f'(t)=lambda,f(t)

Passo 3

Assumimos f(t)neq0 e separamos variáveis:
f'(t)f(t)=lambdat

Passo 4

Integramos ambos os lados em função de t:
integralf'(t)f(t),dt=integrallambdat,dt Longrightarrow lnl|f(t)r|=lambdaln t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando, obtemos
f(t)=A,t^lambda,
com A=e^Cneq0.

Passo 5

A função t^lambda é C^infty em (0,1) para qualquer lambdainR, portanto cada escolha de lambda dá um autovetor não nulo f(t)=A,t^lambda.

Resposta

Os autovalores de T são todos os lambdainR, e os autovetores correspondentes são as funções
f(t)=A,t^lambda, Aneq0

Exercícios relacionados