Exercício 7. (Apostol seção 4.4 exercícios 5, 7, 8, 9) Para cada uma das situações abaixo, considere um espaço vetorial, uma transformação linear e ache os autovalores e autovetores de : .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores não nulos da transformação linear
onde . Para isso vamos escrever a condição de autovetor e resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
A condição de autovetor é
isto é, para todo vale
Passo 3
Assumimos e separamos variáveis:
Passo 4
Integramos ambos os lados em função de :
onde C é constante de integração. Exponenciando, obtemos
f(t)=A,t^lambda,
com A=e^Cneq0.
Passo 5
A função t^lambda é C^infty em (0,1) para qualquer lambdainR, portanto cada escolha de lambda dá um autovetor não nulo f(t)=A,t^lambda.
Resposta
Os autovalores de T são todos os lambdainR, e os autovetores correspondentes são as funções