Use aproximação linear para estimar
, para cada função
e para os valores indicados
e
e
.
para
e
Passo 1
O enunciado pede para estimar, por aproximação linear, o valor de
no ponto
. Os dados fornecidos são:
- Função:
. - Ponto base:
, . - Incrementos:
, .
A tarefa é calcular uma aproximação de
, isto é de
, usando a aproximação linear (primeira ordem).
Passo 2
O que é aproximação linear (ou linearização)?
Para funções de duas variáveis, a aproximação linear em torno de é dada por:
Para funções de duas variáveis, a aproximação linear em torno de
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a (mantendo constante). -
é a derivada parcial de em relação a (mantendo constante).
Essa fórmula vem da expansão em série de Taylor de primeira ordem — na prova, pense nela como “valor no ponto + inclinações nas duas direções vezes os pequenos deslocamentos”.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais gerais de
. Começando por
:
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
- A derivada de
em relação a é (porque é constante e ). - A derivada de
em relação a é (pois é constante e ).
Portanto
Agora
: derivando em relação a
(tratando
como constante):
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (pois é constante e ).
Logo
Passo 4
Agora avaliamos
,
e
no ponto
.
Primeiro
:
porque
.
Em seguida
:
E
:
Resumo numérico que vamos usar:
Passo 5
Aplicando a fórmula da aproximação linear:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Fazendo a conta final (passo a passo, como na prova):
Portanto a aproximação linear dá
. É sempre bom lembrar: essa é uma aproximação de primeira ordem; o erro real é da ordem de
e produtos
, mas com incrementos tão pequenos (
e
) o resultado costuma ser bastante razoável.