Use aproximação linear para estimar f(x+\Delta x, y+\Delta y), para cada função f e para os valores indicados x_{0} e y_{0}, \Delta x e \Delta y.
f(x, y)=x \ln (y)-y \ln (x) para x_{0}=1 y_{0}=1, \Delta x=0,01 e \Delta y=0,02

Passo 1

O enunciado pede para estimar, por aproximação linear, o valor de f no ponto (x_{0}+\Delta x,\;y_{0}+\Delta y). Os dados fornecidos são:
  • Função: f(x,y)=x\ln(y)-y\ln(x).
  • Ponto base: x_{0}=1, y_{0}=1.
  • Incrementos: \Delta x=0,01, \Delta y=0,02.
A tarefa é calcular uma aproximação de f(1+\Delta x,\;1+\Delta y), isto é de f(1,01,\;1,02), usando a aproximação linear (primeira ordem).

Passo 2

O que é aproximação linear (ou linearização)?
Para funções de duas variáveis, a aproximação linear em torno de (x_{0},y_{0}) é dada por:
f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0}+\Delta y)\approx f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\,\Delta x+f_{y}(x_{0},y_{0})\,\Delta y.
Aqui:
  • f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y constante).
  • f_{y} é a derivada parcial de f em relação a y (mantendo x constante).
    Essa fórmula vem da expansão em série de Taylor de primeira ordem — na prova, pense nela como “valor no ponto + inclinações nas duas direções vezes os pequenos deslocamentos”.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais gerais de f. Começando por f_{x}:
f(x,y)=x\ln(y)-y\ln(x).
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
  • A derivada de x\ln(y) em relação a x é \ln(y) (porque \ln(y) é constante e \frac{d}{dx}(x)=1).
  • A derivada de -y\ln(x) em relação a x é -y\cdot\frac{1}{x} (pois y é constante e \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}).
    Portanto
f_{x}(x,y)=\ln(y)-\frac{y}{x}.
Agora f_{y}: derivando em relação a y (tratando x como constante):
  • A derivada de x\ln(y) em relação a y é x\cdot\frac{1}{y}=\frac{x}{y}.
  • A derivada de -y\ln(x) em relação a y é -\ln(x) (pois \ln(x) é constante e \frac{d}{dy}(y)=1).
    Logo
f_{y}(x,y)=\frac{x}{y}-\ln(x).

Passo 4

Agora avaliamos f, f_{x} e f_{y} no ponto (x_{0},y_{0})=(1,1).
Primeiro f(1,1):
f(1,1)=1\cdot\ln(1)-1\cdot\ln(1)=0-0=0,
porque \ln(1)=0.
Em seguida f_{x}(1,1):
f_{x}(1,1)=\ln(1)-\frac{1}{1}=0-1=-1.
E f_{y}(1,1):
f_{y}(1,1)=\frac{1}{1}-\ln(1)=1-0=1.
Resumo numérico que vamos usar:
f(1,1)=0,\qquad f_{x}(1,1)=-1,\qquad f_{y}(1,1)=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula da aproximação linear:
f(1+\Delta x,\;1+\Delta y)\approx f(1,1)+f_{x}(1,1)\,\Delta x+f_{y}(1,1)\,\Delta y.
Substituindo os valores encontrados:
f(1,01,\;1,02)\approx 0+(-1)\cdot 0,01 + 1\cdot 0,02.

Passo 6

Fazendo a conta final (passo a passo, como na prova):
(-1)\cdot 0,01 = -0,01,
1\cdot 0,02 = 0,02,
-0,01+0,02 = 0,01.
Portanto a aproximação linear dá 0,01. É sempre bom lembrar: essa é uma aproximação de primeira ordem; o erro real é da ordem de (\Delta x)^{2},(\Delta y)^{2} e produtos \Delta x\Delta y, mas com incrementos tão pequenos ( 0,01 e 0,02) o resultado costuma ser bastante razoável.

Resposta

f(1,01,\;1,02)\approx0,01

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