Use uma aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1) para estimar o valor da quantidade dada, e compare com o resultado “exato” dado pela calculadora.
(1,15)^{3}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: estimar o valor de (1{,}15)^{3} usando a aproximação linear (polinômio de Taylor de ordem 1) e comparar com o valor exato da calculadora. Informação dada:
  • Número a avaliar: (1{,}15)^{3}.
  • Escolheremos um ponto a próximo a 1{,}15 para linearizar; o ponto natural e simples é a=1.
  • Definimos h = 1{,}15-1 = 0{,}15.

Passo 2

Escolher a função e escrever a fórmula da aproximação linear: seja f(x)=x^{3}. A aproximação linear de f em torno de a (polinômio de Taylor de ordem 1) é
f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).
Aqui f'(x) é a derivada de f, que mede a inclinação instantânea da função. Essa fórmula diz: perto de a, a função se comporta como a reta tangente em a.

Passo 3

Calcular f(a) e f'(a) no ponto a=1. Temos
f(x)=x^{3}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^{2}.
Portanto,
f(1)=1^{3}=1, \qquad f'(1)=3\cdot1^{2}=3.

Passo 4

Aplicar a aproximação linear com x=1{,}15 e h=0{,}15:
f(1{,}15)\approx f(1)+f'(1)(1{,}15-1)=1+3\cdot(0{,}15).
Calcule:
3\cdot(0{,}15)=0{,}45,
logo a aproximação linear é
(1{,}15)^{3}\approx 1{,}45.

Passo 5

Calcular o valor exato (feita a conta exata, que a calculadora confirma). Podemos expandir binomialmente:
(1{,}15)^{3}=(1+0{,}15)^{3}=1+3(0{,}15)+3(0{,}15)^{2}+(0{,}15)^{3}.
Calcule os termos:
3(0{,}15)=0{,}45,\quad 3(0{,}15)^{2}=3\cdot0{,}0225=0{,}0675,\quad (0{,}15)^{3}=0{,}003375.
Somando:
1+0{,}45+0{,}0675+0{,}003375=1{,}520875.
Portanto o valor exato é (1{,}15)^{3}=1{,}520875 (confere com a calculadora).

Passo 6

Calcular o erro da aproximação linear: erro absoluto e erro relativo.
Erro absoluto:
\Delta =\bigl|1{,}45-1{,}520875\bigr|=0{,}070875.
Erro relativo:
\frac{\Delta}{\text{valor exato}}=\frac{0{,}070875}{1{,}520875}\approx0{,}0466\approx4{,}66\%.

Passo 7

Entender por que deu esse erro e como estimá-lo: o termo que a aproximação linear despreza é o resto da série de Taylor a partir da ordem 2. A forma de Lagrange para o resto diz que existe \xi entre 1 e 1{,}15 tal que
R=\frac{f''(\xi)}{2}(0{,}15)^{2}.
Aqui f''(x)=6x. Como x\in[1,1{,}15], temos \max_{[1,1{,}15]}f''(x)=f''(1{,}15)=6\cdot1{,}15=6{,}9. Assim um limite superior para |R| é
|R|\le\frac{6{,}9}{2}\cdot(0{,}15)^{2}=3{,}45\cdot0{,}0225=0{,}077625,
o que contém o erro real 0{,}070875. Se usássemos f''(1)=6 teríamos a contribuição de segunda ordem
\frac{f''(1)}{2}(0{,}15)^{2}=3\cdot0{,}0225=0{,}0675,
e o termo de terceira ordem é \dfrac{f^{(3)}(1)}{6}(0{,}15)^{3}=1\cdot0{,}003375=0{,}003375; somando esses dois recuperamos exatamente 0{,}070875, que é a diferença entre o valor exato e a aproximação linear. Isso mostra que a maior parte do erro vem do termo de ordem h^{2} e um pequeno acréscimo do termo de ordem h^{3}.

Passo 8

Resumo rápido e incentivo: a aproximação linear é rápida e deu (1{,}15)^{3}\approx1{,}45, com erro absoluto 0{,}070875 (cerca de 4{,}66\%). Para h relativamente pequeno ( 0{,}15 não é tão pequeno), o termo quadrático já contribui de forma visível — por isso a aproximação linear aqui tem um erro alguns por cento. Dá para usar aproximação de ordem 2 (incluir o termo \tfrac{f''(a)}{2}h^{2}) se quiser reduzir muito o erro.

Resposta

Aproximação linear (ordem 1): 1{,}45
Valor exato (calculadora): 1{,}520875
Erro absoluto: 0{,}070875
Erro relativo: 0{,}0466\approx4{,}66\%

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