Use uma aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1) para estimar o valor da quantidade dada, e compare com o resultado “exato” dado pela calculadora. (1,15)^{3}
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: estimar o valor de (1{,}15)^{3} usando a aproximação linear (polinômio de Taylor de ordem 1) e comparar com o valor exato da calculadora. Informação dada:
Número a avaliar: (1{,}15)^{3}.
Escolheremos um ponto a próximo a 1{,}15 para linearizar; o ponto natural e simples é a=1.
Definimos h = 1{,}15-1 = 0{,}15.
Passo 2
Escolher a função e escrever a fórmula da aproximação linear: seja f(x)=x^{3}. A aproximação linear de f em torno de a (polinômio de Taylor de ordem 1) é
f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).
Aqui f'(x) é a derivada de f, que mede a inclinação instantânea da função. Essa fórmula diz: perto de a, a função se comporta como a reta tangente em a.
Passo 3
Calcular f(a) e f'(a) no ponto a=1. Temos
f(x)=x^{3}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^{2}.
Portanto,
f(1)=1^{3}=1, \qquad f'(1)=3\cdot1^{2}=3.
Passo 4
Aplicar a aproximação linear com x=1{,}15 e h=0{,}15:
Entender por que deu esse erro e como estimá-lo: o termo que a aproximação linear despreza é o resto da série de Taylor a partir da ordem 2. A forma de Lagrange para o resto diz que existe \xi entre 1 e 1{,}15 tal que
R=\frac{f''(\xi)}{2}(0{,}15)^{2}.
Aqui f''(x)=6x. Como x\in[1,1{,}15], temos \max_{[1,1{,}15]}f''(x)=f''(1{,}15)=6\cdot1{,}15=6{,}9. Assim um limite superior para |R| é
e o termo de terceira ordem é \dfrac{f^{(3)}(1)}{6}(0{,}15)^{3}=1\cdot0{,}003375=0{,}003375; somando esses dois recuperamos exatamente 0{,}070875, que é a diferença entre o valor exato e a aproximação linear. Isso mostra que a maior parte do erro vem do termo de ordem h^{2} e um pequeno acréscimo do termo de ordem h^{3}.
Passo 8
Resumo rápido e incentivo: a aproximação linear é rápida e deu (1{,}15)^{3}\approx1{,}45, com erro absoluto 0{,}070875 (cerca de 4{,}66\%). Para h relativamente pequeno (0{,}15 não é tão pequeno), o termo quadrático já contribui de forma visível — por isso a aproximação linear aqui tem um erro alguns por cento. Dá para usar aproximação de ordem 2 (incluir o termo \tfrac{f''(a)}{2}h^{2}) se quiser reduzir muito o erro.
Resposta
Aproximação linear (ordem 1): 1{,}45
Valor exato (calculadora): 1{,}520875
Erro absoluto: 0{,}070875
Erro relativo: 0{,}0466\approx4{,}66\%