Use uma aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1) para estimar o valor da quantidade dada, e compare com o resultado “exato” dado pela calculadora.
(3,02)^{2}

Passo 1

O enunciado pede usar uma aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1) para estimar o valor de (3,02)^{2} e comparar com o resultado “exato” da calculadora. Informação dada:
  • Valor a avaliar: x=3,02.

Passo 2

Escolher a função a aproximar e o ponto de expansão. A função natural é
f(x)=x^{2},
porque queremos f(3,02). Escolhe-se o ponto de expansão a=3 porque é próximo de 3,02 e facilita as contas (número inteiro).

Passo 3

Apresentar a fórmula da aproximação linear (Taylor de ordem 1). Para uma função f diferenciável, a aproximação linear em torno de a é
f(x)\approx f(a)+f'(a)\,(x-a).
Explicação das partes:
  • f(a) é o valor da função no ponto de expansão.
  • f'(a) é a derivada de f avaliada em a; indica a inclinação da reta tangente que usamos para aproximar.
  • x-a é a pequena diferença entre o ponto onde queremos avaliar e o ponto de expansão.

Passo 4

Calcular f(a) e f'(a) para f(x)=x^{2} e a=3.
A derivada é
f'(x)=2x.
Portanto
f(3)=3^{2}=9
e
f'(3)=2\cdot 3=6.

Passo 5

Calcular a variação (x-a) e aplicar a aproximação linear. Aqui x=3,02, então
x-a=3,02-3=0,02.
Usando a fórmula
f(3,02)\approx f(3)+f'(3)\,(3,02-3)=9+6\cdot 0,02.
Fazendo a conta
6\cdot 0,02=0,12,
logo a aproximação linear é
f(3,02)\approx 9+0,12=9,12.

Passo 6

Calcular o valor “exato” de (3,02)^{2}. Uma maneira exata sem calculadora é expandir (3+0,02)^{2}:
(3+0,02)^{2}=3^{2}+2\cdot 3\cdot 0,02+(0,02)^{2}=9+0,12+0,0004=9,1204.
Esse é o valor exato (e coincide com o que uma calculadora fornece).

Passo 7

Comparar aproximação com o valor exato e avaliar o erro. Diferença (erro absoluto):
\text{erro}=9,1204-9,12=0,0004.
O erro é pequeno. Podemos também ver o erro pela fórmula do resto de Taylor de ordem 1: como f''(x)=2 é constante,
R_{1}=\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)^{2}=\frac{2}{2}\,(0,02)^{2}=(0,02)^{2}=0,0004,
para algum \xi entre 3 e 3,02. Isso explica por que o erro é exatamente 0,0004.

Passo 8

Comentário final e motivação: a aproximação linear deu 9,12 e o valor exato é 9,1204. Para pequenas variações como 0,02 e funções suaves (aqui polinomial), a aproximação linear costuma ser muito boa; o termo de segunda ordem controla o erro e aqui é mínimo.

Resposta

Aproximação linear: 9,12
Valor exato: 9,1204
Erro absoluto: 0,0004

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