Use uma aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1) para estimar o valor da quantidade dada, e compare com o resultado “exato” dado pela calculadora.
Passo 1
O enunciado pede usar uma aproximação linear local (polinômio de Taylor de ordem 1) para estimar o valor de
e comparar com o resultado “exato” da calculadora. Informação dada:
- Valor a avaliar:
.
Passo 2
Escolher a função a aproximar e o ponto de expansão. A função natural é
porque queremos
. Escolhe-se o ponto de expansão
porque é próximo de
e facilita as contas (número inteiro).
Passo 3
Apresentar a fórmula da aproximação linear (Taylor de ordem 1). Para uma função
diferenciável, a aproximação linear em torno de
é
Explicação das partes:
-
é o valor da função no ponto de expansão. -
é a derivada de avaliada em ; indica a inclinação da reta tangente que usamos para aproximar. -
é a pequena diferença entre o ponto onde queremos avaliar e o ponto de expansão.
Passo 4
Calcular
e
para
e
.
A derivada é
A derivada é
Portanto
e
Passo 5
Calcular a variação
e aplicar a aproximação linear. Aqui
, então
Usando a fórmula
Fazendo a conta
logo a aproximação linear é
Passo 6
Calcular o valor “exato” de
. Uma maneira exata sem calculadora é expandir
:
Esse é o valor exato (e coincide com o que uma calculadora fornece).
Passo 7
Comparar aproximação com o valor exato e avaliar o erro. Diferença (erro absoluto):
O erro é pequeno. Podemos também ver o erro pela fórmula do resto de Taylor de ordem 1: como
é constante,
para algum
entre
e
. Isso explica por que o erro é exatamente
.
Passo 8
Comentário final e motivação: a aproximação linear deu
e o valor exato é
. Para pequenas variações como
e funções suaves (aqui polinomial), a aproximação linear costuma ser muito boa; o termo de segunda ordem controla o erro e aqui é mínimo.
Resposta
Aproximação linear:
Valor exato:
Erro absoluto:
Valor exato:
Erro absoluto: