Use a aproximeção linear da função f(x, y, z)=raizx^1 / 2+y^1 / 3+5 z^2 no ponto (4,8,1) para obter uma aproximação de f(4.2,7.95,1.02).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: queremos usar a aproximação linear (expansão de Taylor de primeira ordem) da função f(x,y,z)=raizx^1/2+y^1/3+5z^2 em torno do ponto (4,8,1) para estimar f(4.2,7.95,1.02). Vamos precisar do valor de f nesse ponto e das derivadas parciais avaliadas ali.

Passo 2

Cálculo de f(4,8,1): dentro da raiz temos raiz4=2, raiz[3]8=2 e 5cdot1^2=5, somando dá 2+2+5=9. Logo,
f(4,8,1)=raiz9=3

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais usando regra da cadeia: definindo g=x^1/2+y^1/3+5z^2, temos
fx=12raiz gcdot12x^-1/2=x^-1/24raiz g, fy=12raiz gcdot13y^-2/3=y^-2/36raiz g, fz=12raiz gcdot10z=5zraiz g

Passo 4

Avaliação das parciais em (4,8,1):
x^-1/2=tfrac12,;y^-2/3=tfrac14,;raiz g=3,
portanto
fx(4,8,1)=1/24cdot3=124, fy(4,8,1)=1/46cdot3=172, fz(4,8,1)=5cdot13=tfrac53

Passo 5

Montagem da linearização:
L(x,y,z)=f(4,8,1)+fx(4,8,1)(x-4)+fy(4,8,1)(y-8)+fz(4,8,1)(z-1)

Passo 6

Substituição de (4.2,7.95,1.02): temos De, De, De, então
L(4.2,7.95,1.02)=3+124(0.2)+172(-0.05)+53(0.02)approx3.04097approx3.041

Resposta

Aproximação linear de f(4.2,7.95,1.02) é aproximadamente 3.041.

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