Use os axiomas da relação de ordem (
) em
, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo
e
inteiros:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros
e
, se
então necessariamente
e
.
Conteúdo: usaremos o fato de que em todo quadrado é não-negativo e que soma de não-negativos só pode ser zero se cada parcela for zero. Também faremos uma “completação de quadrado” para separar termos.
Conteúdo: usaremos o fato de que em
Passo 2
Provar que, para todo
, vale
e
Justificativa:
- Se
, então . - Se
ou , então e .
Logo, em todos os casos, com igualdade só quando .
Passo 3
Multiplicamos a equação
por
e completamos o quadrado em
:
Portanto obtemos
Passo 4
Pela propriedade do Passo
temos
e
. Como a soma de dois inteiros não-negativos só pode ser zero se cada um for zero, concluímos
Passo 5
Da igualdade
segue
. E de
segue
, logo
. Substituindo
em
dá
, portanto
.