Use os axiomas da relação de ordem ( < ) em \mathbb{Z}, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo a, b e c inteiros:
a^{2}+a b+b^{2}=0 \Longrightarrow a=b=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros a e b, se
a^{2}+a b+b^{2}=0
então necessariamente a=0 e b=0.
Conteúdo: usaremos o fato de que em \mathbb{Z} todo quadrado é não-negativo e que soma de não-negativos só pode ser zero se cada parcela for zero. Também faremos uma “completação de quadrado” para separar termos.

Passo 2

Provar que, para todo x\in\mathbb{Z}, vale
x^{2}\ge 0
e
x^{2}=0\;\Longrightarrow\;x=0.
Justificativa:
  • Se x=0, então x^{2}=0.
  • Se x>0 ou x<0, então |x|>0 e (\pm x)\cdot(\pm x)=x^{2}>0.
    Logo, em todos os casos x^{2}\ge0, com igualdade só quando x=0.

Passo 3

Multiplicamos a equação a^{2}+a b+b^{2}=0 por 4 e completamos o quadrado em a:
4(a^{2}+a b+b^{2}) =4a^{2}+4ab+4b^{2} =(2a+b)^{2}+3b^{2}.
Portanto obtemos
(2a+b)^{2}+3b^{2}=0.

Passo 4

Pela propriedade do Passo 2 temos (2a+b)^{2}\ge0 e 3b^{2}\ge0. Como a soma de dois inteiros não-negativos só pode ser zero se cada um for zero, concluímos
(2a+b)^{2}=0 \quad\text{e}\quad 3b^{2}=0.

Passo 5

Da igualdade (2a+b)^{2}=0 segue 2a+b=0. E de 3b^{2}=0 segue b^{2}=0, logo b=0. Substituindo b=0 em 2a+b=0 2a=0, portanto a=0.

Resposta

a=b=0

Exercícios relacionados