Use os axiomas da relação de ordem (
) em
, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo
e
inteiros:
Se
e
Se
Passo 1
O enunciado pede usar axiomas de ordem em
e as propriedades de adição e multiplicação para provar que, dados
, se
então
. Iremos usar:
- multiplicação por
inverte desigualdades; - associatividade, comutatividade e distributividade do anel
; - o axioma que diz que, se o produto de dois inteiros é positivo, então eles têm o mesmo sinal.
Passo 2
Multiplicamos a desigualdade
por
. Como
e multiplicar por número negativo inverte a ordem, obtém-se
Passo 3
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação em
,
e de modo idêntico
. Portanto a desigualdade fica
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados (isto é, somando
), que preserva a desigualdade, e usando a distributividade, chegamos a
Passo 5
Como
, ao multiplicar por
(que inverte desigualdades) segue
Passo 6
Pelo axioma de ordem em
, se o produto de dois inteiros é positivo então eles têm o mesmo sinal. Aqui
e
, logo
Resposta
Portanto, sob as hipóteses
e
, concluímos que
.