Use os axiomas da relação de ordem ( < ) em \mathbb{Z}, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo a, b e c inteiros:
Se c<0 e a c<b c \Longrightarrow a>b

Passo 1

O enunciado pede usar axiomas de ordem em \mathbb{Z} e as propriedades de adição e multiplicação para provar que, dados a,b,c\in\mathbb{Z}, se
c<0 \quad\text{e}\quad ac<bc,
então a>b. Iremos usar:
  • multiplicação por -1 inverte desigualdades;
  • associatividade, comutatividade e distributividade do anel \mathbb{Z};
  • o axioma que diz que, se o produto de dois inteiros é positivo, então eles têm o mesmo sinal.

Passo 2

Multiplicamos a desigualdade ac<bc por -1. Como -1<0 e multiplicar por número negativo inverte a ordem, obtém-se
-1\cdot(ac)\;>\;-1\cdot(bc).

Passo 3

Pela associatividade e comutatividade da multiplicação em \mathbb{Z},
-1\cdot(ac) = (-1\cdot a)\,c = a\,(-1\cdot c) = a(-c),
e de modo idêntico -1\cdot(bc)=b(-c). Portanto a desigualdade fica
a(-c)\;>\;b(-c).

Passo 4

Subtraindo b(-c) de ambos os lados (isto é, somando -\,b(-c)), que preserva a desigualdade, e usando a distributividade, chegamos a
a(-c)-b(-c)>0 \quad\Longrightarrow\quad (a-b)(-c)>0.

Passo 5

Como c<0, ao multiplicar por -1 (que inverte desigualdades) segue
-c>0.

Passo 6

Pelo axioma de ordem em \mathbb{Z}, se o produto de dois inteiros é positivo então eles têm o mesmo sinal. Aqui (-c)>0 e (a-b)(-c)>0, logo
a-b>0 \quad\Longrightarrow\quad a>b.

Resposta

Portanto, sob as hipóteses c<0 e ac<bc, concluímos que a>b.

Exercícios relacionados