Use os axiomas da relação de ordem ( < ) em \mathbb{Z}, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo a, b e c inteiros:
a^{2}+a b+b^{2} \geq 0

Passo 1

Resumindo, queremos provar que, para quaisquer inteiros a e b,
a^{2}+a b+b^{2}\ge0.
O conteúdo usado será:
  1. Em \mathbb{Z}, todo quadrado é não negativo, ou seja, para todo x\in\mathbb{Z} vale
x\ge0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\ge0,
e mais fortemente
\forall x\in\mathbb{Z}:\;x^{2}\ge0.
  1. Axiomas de ordem: soma e produto por número não negativo preservam desigualdade.

Passo 2

Pela positividade dos quadrados em \mathbb{Z}, temos
a^{2}\ge0,\quad b^{2}\ge0,\quad (a+b)^{2}\ge0.

Passo 3

Expandindo o quadrado (a+b)^{2}, obtemos
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

Passo 4

Somamos as três desigualdades de passo 2:
a^{2}\ge0,\quad b^{2}\ge0,\quad a^{2}+2ab+b^{2}\ge0
pela monotonicidade da adição resulta
a^{2}+b^{2}+\bigl(a^{2}+2ab+b^{2}\bigr)\ge0.
O lado esquerdo é
a^{2}+b^{2}+a^{2}+2ab+b^{2}=2a^{2}+2ab+2b^{2}=2\,(a^{2}+ab+b^{2}).
Logo
2\,(a^{2}+ab+b^{2})\ge0.

Passo 5

Sabemos também que 2>0 em \mathbb{Z}. Como multiplicar por um número positivo preserva a ordem, de
2\,(a^{2}+ab+b^{2})\ge0
segue
a^{2}+ab+b^{2}\ge0.

Resposta

Concluímos que, para quaisquer a,b\in\mathbb{Z},
a^{2}+ab+b^{2}\ge0.

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