Use os axiomas da relação de ordem (
) em
, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo
e
inteiros:
Passo 1
Resumindo, queremos provar que, para quaisquer inteiros
e
,
O conteúdo usado será:
- Em
, todo quadrado é não negativo, ou seja, para todo vale
e mais fortemente
- Axiomas de ordem: soma e produto por número não negativo preservam desigualdade.
Passo 2
Pela positividade dos quadrados em
, temos
Passo 3
Expandindo o quadrado
, obtemos
Passo 4
Somamos as três desigualdades de passo 2:
pela monotonicidade da adição resulta
O lado esquerdo é
Logo
Passo 5
Sabemos também que
em
. Como multiplicar por um número positivo preserva a ordem, de
segue
Resposta
Concluímos que, para quaisquer
,