Use os axiomas da relação de ordem ( < ) em \mathbb{Z}, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo a, b e c inteiros:
Se a<b, não implica que a^{2}<b^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathbb{Z}, embora tenhamos axiomas de ordem que dizem:
  1. Se a<b então a+c<b+c para todo c.
  2. Se a<b e c>0 então ac<bc.
  3. Se a<b e c<0 então ac>bc.
    nem sempre de a<b se segue a^2<b^2. Vamos usar essas regras e propriedades da multiplicação para exibir um contraexemplo.

Passo 2

Escolhemos os inteiros
a=-2,\quad b=-1.
Claramente -2< -1, isto é, a<b.

Passo 3

Aplicamos o axioma de multiplicação para c<0 duas vezes, primeiro com c=a=-2 e depois com c=b=-1:
\text{de }-2< -1\text{ e }-2<0\text{ segue } (-2)\cdot(-2) > (-1)\cdot(-2),
logo
4 > 2.
E também
\text{de }-2< -1\text{ e }-1<0\text{ segue } (-2)\cdot(-1) > (-1)\cdot(-1),
logo
2 > 1.

Passo 4

Pela transitividade de “ >” em \mathbb{Z}, de 4>2 e 2>1 obtemos
4>1.
Mas 4=(-2)^2 e 1=(-1)^2, isto é,
(-2)^2 > (-1)^2.
Portanto, apesar de -2< -1, obtemos (-2)^2 > (-1)^2, mostrando que a implicação a<b\implies a^2<b^2 não é válida em geral.

Resposta

A implicação não vale: basta o contraexemplo a=-2, b=-1, pois
-2< -1 \quad\text{mas}\quad (-2)^2 = 4 > 1 = (-1)^2.

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