Use as E.C.R. para encontrar onde não existe
:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar onde a derivada de $ f(z) $, denotada por $ f^{\prime}(z) $, não existe usando as Equações das Condições de Regularidade (E.C.R.). Aqui, estamos trabalhando com funções de variáveis complexas e precisamos utilizar as E.C.R., que são fundamentais para determinar a diferenciabilidade de funções no campo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(z) $ em termos das partes reais e imaginárias de $ z $. Seja $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais. A função dada é:
A conjugada de $ z $ é $ \overline{z} = x - iy $. Substituindo na função:
Então, podemos expressar $ f(z) $ como:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as Equações das Condições de Regularidade (E.C.R.), que são necessárias para que a derivada $ f^{\prime}(z) $ exista no ponto $ z $. As E.C.R. são:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeira equação:
Portanto:
Segunda equação:
Portanto:
Passo 4
As E.C.R. precisam ser satisfeitas simultaneamente para que $ f^{\prime}(z) $ exista em um ponto $ z $. No nosso caso, a primeira equação não é satisfeita (0 ≠ 2), o que significa que as condições de regularidade não são atendidas em nenhum ponto do plano complexo.
Resposta
A derivada $ f^{\prime}(z) $ não existe em nenhum ponto do plano complexo.