Use as E.C.R. para encontrar onde não existe f^prime(z) :
f(z)=z-barz

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar onde a derivada de $ f(z) $, denotada por $ f^{\prime}(z) $, não existe usando as Equações das Condições de Regularidade (E.C.R.). Aqui, estamos trabalhando com funções de variáveis complexas e precisamos utilizar as E.C.R., que são fundamentais para determinar a diferenciabilidade de funções no campo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ f(z) $ em termos das partes reais e imaginárias de $ z $. Seja $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais. A função dada é:
f(z)
A conjugada de $ z $ é $ \overline{z} = x - iy $. Substituindo na função:
z
Então, podemos expressar $ f(z) $ como:
z = x + iy
Onde:
x
y

Passo 3

Agora, vamos aplicar as Equações das Condições de Regularidade (E.C.R.), que são necessárias para que a derivada $ f^{\prime}(z) $ exista no ponto $ z $. As E.C.R. são:
f^prime(z)
z
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeira equação:
partial upartial x = partial vpartial y
partial upartial y = -partial vpartial x
Portanto:
partial upartial x = partial 0partial x = 0 ãé
Segunda equação:
partial vpartial y = partial (2y)partial y = 2
0 = 2 (Não é verdadeiro)
Portanto:
partial upartial y = partial 0partial y = 0

Passo 4

As E.C.R. precisam ser satisfeitas simultaneamente para que $ f^{\prime}(z) $ exista em um ponto $ z $. No nosso caso, a primeira equação não é satisfeita (0 ≠ 2), o que significa que as condições de regularidade não são atendidas em nenhum ponto do plano complexo.

Resposta

A derivada $ f^{\prime}(z) $ não existe em nenhum ponto do plano complexo.

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