Use o conhecimento de regras de derivação para encontrar f^prime(z) se:
f(z)=z-12 z+1 com z neq-1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(z) = \frac{z - 1}{2z + 1} $. Aqui estamos lidando com cálculo de derivadas, especificamente usando as regras de derivação para funções que são frações (quotient rule).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se temos uma função $ f(z) = \frac{u(z)}{v(z)} $, então a derivada $ f’(z) $ é dada por:
f(z) = u(z)v(z)
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

Vamos identificar $ u(z) $ e $ v(z) $ na nossa função:
u(z)
v(z)
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(z) $ e $ v(z) $:
u(z) = z - 1
v(z) = 2z + 1

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(z) = u'(z) cdot v(z) - u(z) cdot v'(z)[v(z)]^2 = 1 cdot (2z + 1) - (z - 1) cdot 2(2z + 1)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
1 cdot (2z + 1) = 2z + 1
(z - 1) cdot 2 = 2z - 2
2z + 1 - (2z - 2) = 2z + 1 - 2z + 2 = 3

Passo 6

Então, a derivada fica:
f'(z) = 3(2z + 1)^2

Resposta

A derivada de $ f(z) = \frac{z - 1}{2z + 1} $ é:
f(z) = z - 12z + 1

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