Use as E.C.R. para mostrar que
e
existem em toda parte e encontre
quando:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as derivadas $ f’(z) $ e $ f’’(z) $ existem em todos os pontos do plano complexo e, depois, encontrar $ f’’(z) $ para a função dada $ f(z) = i z + 2 $. Para fazer isso, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann (E.C.R.), que são fundamentais para entender a diferenciabilidade de funções de variáveis complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como representam uma função de variável complexa. Seja $ z = x + i y $, onde $ x $ e $ y $ são números reais. Então, a função $ f(z) = i z + 2 $ pode ser escrita em termos das partes real e imaginária:
Aqui, identificamos as partes real e imaginária da função:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que $ f(z) $ seja diferenciável em $ z $. As E.C.R. dizem que:
Vamos calcular essas derivadas parciais para nossa função.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de $ u(x, y) $ e $ v(x, y) $:
Passo 5
Agora, vamos verificar se as E.C.R. são satisfeitas:
Como as duas equações são satisfeitas, concluímos que $ f(z) $ é diferenciável em todo ponto do plano complexo.
Passo 6
Agora que sabemos que $ f(z) $ é diferenciável em todos os pontos, podemos encontrar a primeira derivada $ f’(z) $. Usando as E.C.R., a derivada é dada por:
Então, $ f’(z) = i $.
Passo 7
Para encontrar a segunda derivada $ f’’(z) $, vamos derivar $ f’(z) $ em relação a $ z $. Como $ f’(z) = i $ é uma constante (não depende de $ z $), sua derivada é zero:
Resposta
A segunda derivada de $ f(z) = i z + 2 $ é $ f’’(z) = 0 $.