Use as E.C.R. para mostrar que f^prime(z) e f^prime prime(z) existem em toda parte e encontre f^prime prime(z) quando:
f(z)=i z+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as derivadas $ f’(z) $ e $ f’’(z) $ existem em todos os pontos do plano complexo e, depois, encontrar $ f’’(z) $ para a função dada $ f(z) = i z + 2 $. Para fazer isso, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann (E.C.R.), que são fundamentais para entender a diferenciabilidade de funções de variáveis complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representam uma função de variável complexa. Seja $ z = x + i y $, onde $ x $ e $ y $ são números reais. Então, a função $ f(z) = i z + 2 $ pode ser escrita em termos das partes real e imaginária:
z = x + i y
Aqui, identificamos as partes real e imaginária da função:
x
y á

Passo 3

Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que $ f(z) $ seja diferenciável em $ z $. As E.C.R. dizem que:
f(z)
z
Vamos calcular essas derivadas parciais para nossa função.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de $ u(x, y) $ e $ v(x, y) $:
u(x, y)
v(x, y)
partial upartial x = partial (-y + 2)partial x = 0
partial upartial y = partial (-y + 2)partial y = -1

Passo 5

Agora, vamos verificar se as E.C.R. são satisfeitas:
partial upartial x = 0 e partial vpartial y = 0 Rightarrow 0 = 0 (OK)
partial upartial y = -1 e -partial vpartial x = -1 Rightarrow -1 = -1 (OK)
Como as duas equações são satisfeitas, concluímos que $ f(z) $ é diferenciável em todo ponto do plano complexo.

Passo 6

Agora que sabemos que $ f(z) $ é diferenciável em todos os pontos, podemos encontrar a primeira derivada $ f’(z) $. Usando as E.C.R., a derivada é dada por:
f(z)
Então, $ f’(z) = i $.

Passo 7

Para encontrar a segunda derivada $ f’’(z) $, vamos derivar $ f’(z) $ em relação a $ z $. Como $ f’(z) = i $ é uma constante (não depende de $ z $), sua derivada é zero:
f''(z)

Resposta

A segunda derivada de $ f(z) = i z + 2 $ é $ f’’(z) = 0 $.

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