Use Clairaut’s Theorem to show that if the third-order partial derivatives of
are continuous, then
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob a hipótese de continuidade das derivadas parciais de terceira ordem de
, vale
O conteúdo usado será o Teorema de Clairaut (igualdade de derivadas mistas de segunda ordem) e a diferenciação dessas igualdades para obter as relações de terceira ordem.
Passo 2
Clairaut diz que, se
e
são contínuas numa vizinhança de
, então
Passo 3
A partir de
podemos diferenciar ambos os lados em relação a
. Como as derivadas de terceira ordem são contínuas, temos
Passo 4
Agora considere a função auxiliar
. Aplicando Clairaut a
(ou seja, igualando
e
), obtemos
Mas
e
Logo,
Passo 5
Juntando as duas igualdades obtidas, concluímos que
de onde segue