Use Clairaut’s Theorem to show that if the third-order partial derivatives of f are continuous, then
f_{x y y}=f_{y x y}=f_{y y x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob a hipótese de continuidade das derivadas parciais de terceira ordem de f, vale
f_{x y y}=f_{y x y}=f_{y y x}.
O conteúdo usado será o Teorema de Clairaut (igualdade de derivadas mistas de segunda ordem) e a diferenciação dessas igualdades para obter as relações de terceira ordem.

Passo 2

Clairaut diz que, se f_{xy} e f_{yx} são contínuas numa vizinhança de (x,y), então
f_{xy}=f_{yx}.

Passo 3

A partir de
f_{xy}=f_{yx}
podemos diferenciar ambos os lados em relação a y. Como as derivadas de terceira ordem são contínuas, temos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_{xy}\bigr) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_{yx}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad f_{x y y}=f_{y x y}.

Passo 4

Agora considere a função auxiliar g(x,y)=f_{y}(x,y). Aplicando Clairaut a g (ou seja, igualando g_{xy} e g_{yx}), obtemos
g_{xy}=g_{yx}.
Mas
g_{xy} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(g_{y}\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_{yy}\bigr) =f_{y y x},
e
g_{yx} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(g_{x}\bigr) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_{yx}\bigr) =f_{y x y}.
Logo,
f_{y y x}=f_{y x y}.

Passo 5

Juntando as duas igualdades obtidas, concluímos que
f_{x y y}=f_{y x y} \quad\text{e}\quad f_{y x y}=f_{y y x},
de onde segue
f_{x y y}=f_{y x y}=f_{y y x}.

Resposta

f_{x y y}=f_{y x y}=f_{y y x}.

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