Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{-2}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}}f(x,y)\,dy\,dx
e pede para esboçar a região de integração no plano (x,y) e depois trocar a ordem de integração. O conteúdo principal aqui é a descrição geométrica da região em \mathbb{R}^2 e o uso do Teorema de Fubini para inverter as integrais.

Passo 2

Vamos entender a região
D = \bigl\{(x,y)\mid -2\le x\le 2,\;0\le y\le \sqrt{4 - x^{2}}\bigr\}.
A curva y=\sqrt{4 - x^{2}} é a semicircunferência superior de raio 2. Logo, D é a “meia-lua” cheia: a parte superior do disco de raio 2 centrado na origem, limitada abaixo pelo eixo x e acima pela circunferência x^{2}+y^{2}=4.

Passo 3

Para inverter a ordem, expressamos D descrevendo primeiro y e depois x. Obviamente y varia do mínimo 0 ao máximo 2. Para cada y fixo, x está na projeção horizontal do disco, isto é
-\sqrt{4 - y^{2}}\;\le\;x\;\le\;\sqrt{4 - y^{2}}.

Resposta

\int_{-2}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}}f(x,y)\,dy\,dx = \int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{4 - y^{2}}}^{\sqrt{4 - y^{2}}}f(x,y)\,dx\,dy.

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