(a) How many n th-order partial derivatives does a function of two variables have?
(b) If these partial derivatives are all continuous, how many of them can be distinct?
(c) Answer the question in part (a) for a function of three variables.

Passo 1

O enunciado pede para contarmos, para uma função escalar de duas variáveis f(x,y), quantas derivações parciais de ordem n existem. Depois, sob a hipótese de todas serem contínuas (logo permutáveis), quantas delas podem ser diferentes. Em seguida, repetir a contagem do número total de derivações de ordem n para o caso de uma função de três variáveis.

Passo 2

Para qualquer ordem de derivação, em cada passo escolhemos derivar em relação a x ou a y. São duas opções independentes em cada um dos n passos, portanto o número total de derivações parciais de ordem n é
2^n.

Passo 3

Se todas as derivadas parciais de ordem n forem contínuas, podemos trocar a ordem de diferenciação (teorema de Clairaut), de modo que qualquer sequência de i derivações em x e n-i em y dá o mesmo resultado. Basta, pois, contar quantos valores de i vão de 0 a n, ou seja,
n+1.

Passo 4

No caso de uma função de três variáveis g(x,y,z), em cada um dos n passos de diferenciação temos três escolhas ( x, y ou z), logo o número total de derivações parciais de ordem n é
3^n.

Resposta

(a) 2^n
(b) n+1
(c) 3^n

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