(a) How many
th-order partial derivatives does a function of two variables have?
(b) If these partial derivatives are all continuous, how many of them can be distinct?
(c) Answer the question in part (a) for a function of three variables.
(b) If these partial derivatives are all continuous, how many of them can be distinct?
(c) Answer the question in part (a) for a function of three variables.
Passo 1
O enunciado pede para contarmos, para uma função escalar de duas variáveis
, quantas derivações parciais de ordem
existem. Depois, sob a hipótese de todas serem contínuas (logo permutáveis), quantas delas podem ser diferentes. Em seguida, repetir a contagem do número total de derivações de ordem
para o caso de uma função de três variáveis.
Passo 2
Para qualquer ordem de derivação, em cada passo escolhemos derivar em relação a
ou a
. São duas opções independentes em cada um dos
passos, portanto o número total de derivações parciais de ordem
é
Passo 3
Se todas as derivadas parciais de ordem
forem contínuas, podemos trocar a ordem de diferenciação (teorema de Clairaut), de modo que qualquer sequência de
derivações em
e
em
dá o mesmo resultado. Basta, pois, contar quantos valores de
vão de
a
, ou seja,
Passo 4
No caso de uma função de três variáveis
, em cada um dos
passos de diferenciação temos três escolhas (
,
ou
), logo o número total de derivações parciais de ordem
é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)