(4 pts) Encontre o fluxo de F=y z \mathbf{i}+x \mathbf{j}-z^{2} \mathbf{k} através do cilindro parabólico y=x^{2}, 0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 4, orientada na direção do eixo y positivo.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
F = y z\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} - z^{2}\,\mathbf{k}
através da superfície cilíndrica dada por y = x^{2}, 0 \le x \le 1, 0 \le z \le 4, orientada no sentido do eixo y positivo.
O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial, usando parametrização e escolha de normal com base na orientação.
Passo 2
Parametrizamos a superfície por
r(x,z) = \bigl(x,\;x^{2},\;z\bigr),
com o domínio \{(x,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le z\le4\}.
Aí os vetores tangentes são