(4 pts) Encontre o fluxo de F=y z \mathbf{i}+x \mathbf{j}-z^{2} \mathbf{k} através do cilindro parabólico y=x^{2}, 0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 4, orientada na direção do eixo y positivo.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
F = y z\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j} - z^{2}\,\mathbf{k}
através da superfície cilíndrica dada por y = x^{2}, 0 \le x \le 1, 0 \le z \le 4, orientada no sentido do eixo y positivo.
O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial, usando parametrização e escolha de normal com base na orientação.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
r(x,z) = \bigl(x,\;x^{2},\;z\bigr),
com o domínio \{(x,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le z\le4\}.
Aí os vetores tangentes são
r_x = \frac{\partial r}{\partial x} = (1,\,2x,\,0), \quad r_z = \frac{\partial r}{\partial z} = (0,\,0,\,1).

Passo 3

O produto vetorial
r_x \times r_z = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 2x & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (2x,\;-1,\;0).
Esse vetor normal tem componente em y igual a -1, ou seja, aponta para o negativo de y. Como queremos orientação para o y positivo, tomamos
\mathbf{n}\,dS = -\bigl(r_x \times r_z\bigr)\,dx\,dz = (-2x,\;1,\;0)\,dx\,dz.

Passo 4

Em cima da superfície,
F\bigl(r(x,z)\bigr) = \bigl(x^{2}z,\;x,\;-z^{2}\bigr).
O produto escalar com \mathbf{n}\,dS é
F\cdot \mathbf{n}\,dS = \bigl(x^{2}z,\;x,\;-z^{2}\bigr)\cdot(-2x,\;1,\;0)\,dx\,dz = \bigl(-2x^{3}z + x\bigr)\,dx\,dz.
Logo o fluxo é
\iint_{S}F\cdot \mathbf{n}\,dS = \int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{4}\bigl(-2x^{3}z + x\bigr)\,dz\,dx.

Passo 5

Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{4}\bigl(-2x^{3}z + x\bigr)\,dz = -2x^{3}\,\frac{z^{2}}{2}\Big|_{0}^{4} \;+\; x\cdot 4 = -x^{3}\cdot16 \;+\;4x = -16x^{3} + 4x.
Agora em x:
\int_{0}^{1}(-16x^{3} + 4x)\,dx = -16\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} \;+\;4\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = -4 + 2 = -2.

Resposta

O fluxo de F através do cilindro, com orientação para y positivo, é -2.

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