Use o conceito de diferencial total para estimar o erro máximo no cálculo da área de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 6 m e 8 m e cujo possível erro em cada medida é de 0.1 m . Calcule também o erro percentual aproximado.

Passo 1

O enunciado pede para estimar, pelo diferencial total, o erro máximo na área de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 m e 8 m e cada medida tem incerteza de 0,1 m. Também queremos o erro percentual aproximado. Vamos usar a teoria de diferenciais para funções de duas variáveis.

Passo 2

Definimos a área como função de dois catetos:
A(x,y)=12,xcdot y
Aqui usamos o conceito de diferencial total: a variação aproximada dA é dada por
dA=partial Apartial x,dx+partial Apartial y,dy

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Apartial x= y2, partial Apartial y= x2
Isso vem de derivar A(x,y)=tfrac12xy em relação a cada variável.

Passo 4

Substituímos os valores nominais e as pequenas variações:
x=6, y=8, dx=0,1, dy=0,1
Então
dA=82cdot0,1+62cdot0,1=4cdot0,1+3cdot0,1=0,4+0,3=0,7 m^2

Passo 5

O erro máximo aproximado na área é de 0,7 m². Agora calculamos o erro percentual. A área nominal é
A(6,8)=12cdot6cdot8=24 m^2
Logo o erro relativo é 0,7/24approx0,02917, ou seja, cerca de 2,9 %.

Resposta

Erro máximo ≃ 0,7 m² e erro percentual aproximado ≃ 2,9 %.

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