Use os teoremas
e 4 para determinar se as séries convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita dada por:
O objetivo é determinar se essa série converge (ou seja, se a soma dos termos chega a um número finito) ou diverge (não tem um limite finito). Para isso, vamos usar alguns teoremas de convergência de séries, como o teste da comparação e o método de soma por frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos dessa série para facilitar a análise. Observamos que cada termo é da forma:
Podemos simplificar isso usando frações parciais. A ideia é expressar a fração em uma forma que facilita a soma da série. Vamos fazer isso:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos resolver para
e
. Escolhemos valores de
que simplifiquem a equação:
-
Para
: -
Para
:
Então, a fração se decompõe em:
Passo 3
Agora que conseguimos decompor a fração, a série original fica:
Isso é uma série telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar ao somarmos a série. Vamos ver como isso acontece:
Observe que
do primeiro termo cancela com
do segundo termo, e assim por diante. O que sobra é apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo que vai se aproximar de zero conforme
cresce.
Passo 4
Vamos somar os termos até um certo
:
Após cancelamentos, sobra:
Passo 5
Para encontrar o limite da soma quando
vai para o infinito, analisamos:
Resposta
A série converge e a soma infinita é igual a
.