Use os teoremas 1,2,3 e 4 para determinar se as séries convergem ou divergem:
110.11+111.12+ldots+1(n+9)(n+10)+ldots

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita dada por:
110 cdot 11 + 111 cdot 12 + ldots + 1(n+9)(n+10) + ldots
O objetivo é determinar se essa série converge (ou seja, se a soma dos termos chega a um número finito) ou diverge (não tem um limite finito). Para isso, vamos usar alguns teoremas de convergência de séries, como o teste da comparação e o método de soma por frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos dessa série para facilitar a análise. Observamos que cada termo é da forma:
1(n+9)(n+10)
Podemos simplificar isso usando frações parciais. A ideia é expressar a fração em uma forma que facilita a soma da série. Vamos fazer isso:
1(n+9)(n+10) = An+9 + Bn+10
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(n+10) + B(n+9) , temos:
1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1
Agora, vamos resolver para 1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1 e 1(n+9)(n+10) = 1n+9 - 1n+10 . Escolhemos valores de que simplifiquem a equação:
  • Para :
  • Para :
Então, a fração se decompõe em:

Passo 3

Agora que conseguimos decompor a fração, a série original fica:
sumn=1^infty ( 1n+9 - 1n+10 )
Isso é uma série telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar ao somarmos a série. Vamos ver como isso acontece:
( 110 - 111 ) + ( 111 - 112 ) + ( 112 - 113 ) + ldots
Observe que do primeiro termo cancela com do segundo termo, e assim por diante. O que sobra é apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo que vai se aproximar de zero conforme cresce.

Passo 4

Vamos somar os termos até um certo SN = 110 - 111 + 111 - 112 + ldots + 1N+9 - 1N+10 :
SN = 110 - 1N+10
Após cancelamentos, sobra:

Passo 5

Para encontrar o limite da soma quando limN to infty SN = limN to infty ( 110 - 1N+10 ) = 110 - 0 = 110 vai para o infinito, analisamos:

Resposta

A série converge e a soma infinita é igual a .

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