Use o conceito de fasor para combinar as seguintes funções senoidais em uma única expressão trigonométrica:
y=10 cos (omega t+30^circ)+10 sen(omega t)+10 cos (omega t+150^circ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que combinar três funções senoidais usando o conceito de fasor. As funções são:
y = 10 cos (omega t + 30^circ) + 10 sin(omega t) + 10 cos (omega t + 150^circ)
Vamos usar a matéria de fasores para simplificar isso em uma única expressão trigonométrica. Para isso, precisamos entender como representar cada senoide como um fasor e depois somá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função sin(omega t) pode ser expressa como cos(omega t - 90^circ). Isso facilita porque todas as funções estarão na forma de cosseno, o que é mais simples para trabalhar com fasores.
Então, reescrevendo a segunda função:
10 sin(omega t) = 10 cos(omega t - 90^circ)
Agora, temos todas as três funções na forma de cosseno:
y = 10 cos (omega t + 30^circ) + 10 cos(omega t - 90^circ) + 10 cos (omega t + 150^circ)

Passo 3

Agora, vamos representar cada uma dessas funções como um fasor. Um fasor é uma representação complexa de uma senoide, onde a magnitude é a amplitude da senoide e o ângulo é o seu deslocamento de fase.
Vamos converter cada termo para sua forma fasorial:
  1. 10 cos (omega t + 30^circ) corresponde ao fasor 10 ang<= 30^circ
  2. 10 cos(omega t - 90^circ) corresponde ao fasor 10 ang<= -90^circ
  3. 10 cos (omega t + 150^circ) corresponde ao fasor 10 ang<= 150^circ

Passo 4

Para somar os fasores, primeiro precisamos somar suas componentes reais e imaginárias separadamente. Vamos converter os fasores para a forma retangular (parte real e imaginária).
Usando as fórmulas:
  • Parte real = Magnitude × cos(theta)
  • Parte imaginária = Magnitude × sin(theta)
Vamos calcular cada um:
  1. 10 ang<= 30^circ:
    • Real: 10 cos(30^circ) = 10 times raiz32 = 5raiz3
    • Imaginária: 10 sin(30^circ) = 10 times 12 = 5
  2. 10 ang<= -90^circ:
    • Real: 10 cos(-90^circ) = 10 times 0 = 0
    • Imaginária: 10 sin(-90^circ) = 10 times (-1) = -10
  3. 10 ang<= 150^circ:
    • Real: 10 cos(150^circ) = 10 times (-raiz32) = -5raiz3
    • Imaginária: 10 sin(150^circ) = 10 times 12 = 5

Passo 5

Agora, somamos as partes reais e imaginárias separadamente:
  • Parte real total:
    5raiz3 + 0 - 5raiz3 = 0
  • Parte imaginária total:
    5 - 10 + 5 = 0
Então, a soma dos fasores na forma retangular é 0 + j0, ou seja, zero.

Passo 6

Isso significa que, ao combinar todas as três funções senoidais, elas se cancelam mutuamente. Portanto, a soma total é zero.

Resposta

A expressão combinada é:
y = 0

Exercícios relacionados