Use o conceito de fasor para combinar as seguintes funções senoidais em uma única expressão trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o conceito de fasor para combinar duas funções senoidais em uma única expressão trigonométrica. A matéria envolvida é análise de sinais usando fasores, que ajudam a simplificar a soma de ondas senoidais com a mesma frequência. Para resolver isso, vamos precisar converter as funções dadas em fasores, somá-los e depois converter o resultado de volta para uma função senoidal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que precisamos combinar:
Perceba que ambas as funções têm a mesma frequência angular, $ 50 $ rad/s, o que facilita o uso de fasores.
Passo 3
Agora, vamos converter cada função em sua forma de fasor. Para isso, é útil lembrar que podemos expressar cossenos em termos de senos com deslocamento de fase:
Então, reescrevendo a segunda função:
Agora temos:
Passo 4
Em seguida, representamos cada senóide como um fasor. Um fasor é uma representação vetorial de uma onda senoidal, onde a magnitude é a amplitude da onda e o ângulo é o deslocamento de fase.
Para $ 90 \sin\left(50 t - 20^{\circ}\right) $:
- Amplitude: 90
- Fase:
Para $ 60 \sin\left(50 t + 20^{\circ}\right) $:
- Amplitude: 60
- Fase:
Passo 5
Agora, somamos os dois fasores. Para isso, precisamos converter as amplitudes e fases em componentes retangulares (X e Y):
Para o primeiro fasor:
Para o segundo fasor:
Calculando:
Usando valores aproximados de cosseno e seno:
Então:
Passo 6
Com as componentes totais $ X_{total} $ e $ Y_{total} $, podemos encontrar a magnitude e a fase do fasor resultante:
Magnitude $ R $:
Fase $ \phi $:
Resposta
A soma das funções senoidais é: