Use o conceito de fasor para combinar as seguintes funções senoidais em uma única expressão trigonométrica:
y=90 sen(50 t-20^circ)+60 cos (50 t-70^circ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o conceito de fasor para combinar duas funções senoidais em uma única expressão trigonométrica. A matéria envolvida é análise de sinais usando fasores, que ajudam a simplificar a soma de ondas senoidais com a mesma frequência. Para resolver isso, vamos precisar converter as funções dadas em fasores, somá-los e depois converter o resultado de volta para uma função senoidal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que precisamos combinar:
y = 90 sin(50 t - 20^circ) + 60 cos(50 t - 70^circ)
Perceba que ambas as funções têm a mesma frequência angular, $ 50 $ rad/s, o que facilita o uso de fasores.

Passo 3

Agora, vamos converter cada função em sua forma de fasor. Para isso, é útil lembrar que podemos expressar cossenos em termos de senos com deslocamento de fase:
cos(theta) = sin(theta + 90^circ)
Então, reescrevendo a segunda função:
60 cos(50 t - 70^circ) = 60 sin(50 t - 70^circ + 90^circ) = 60 sin(50 t + 20^circ)
Agora temos:
y = 90 sin(50 t - 20^circ) + 60 sin(50 t + 20^circ)

Passo 4

Em seguida, representamos cada senóide como um fasor. Um fasor é uma representação vetorial de uma onda senoidal, onde a magnitude é a amplitude da onda e o ângulo é o deslocamento de fase.
Para $ 90 \sin\left(50 t - 20^{\circ}\right) $:
  • Amplitude: 90
  • Fase: 90 sin(50 t - 20^circ)
Para $ 60 \sin\left(50 t + 20^{\circ}\right) $:
  • Amplitude: 60
  • Fase: -20^circ

Passo 5

Agora, somamos os dois fasores. Para isso, precisamos converter as amplitudes e fases em componentes retangulares (X e Y):
Para o primeiro fasor:
X1 = 90 cos(-20^circ)
Y1 = 90 sin(-20^circ)
Para o segundo fasor:
X2 = 60 cos(20^circ)
Y2 = 60 sin(20^circ)
Calculando:
Xtotal = X1 + X2 = 90 cos(-20^circ) + 60 cos(20^circ)
Ytotal = Y1 + Y2 = 90 sin(-20^circ) + 60 sin(20^circ)
Usando valores aproximados de cosseno e seno:
cos(-20^circ) = cos(20^circ) approx 0,9397
sin(-20^circ) = -sin(20^circ) approx -0,3420
cos(20^circ) approx 0,9397
sin(20^circ) approx 0,3420
Então:
Xtotal = 90 times 0,9397 + 60 times 0,9397 approx 84,573 + 56,382 approx 140,955
Ytotal = 90 times (-0,3420) + 60 times 0,3420 approx -30,78 + 20,52 approx -10,26

Passo 6

Com as componentes totais $ X_{total} $ e $ Y_{total} $, podemos encontrar a magnitude e a fase do fasor resultante:
Magnitude $ R $:
Xtotal
Fase $ \phi $:
Ytotal

Resposta

A soma das funções senoidais é:
y approx 141,3 sin(50 t - 4,16^circ)

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