Use o conceito de primitiva (derivando) de uma função para verificar se as seguintes integrais estão corretas.
integral e^raizuraizu d u=e^raizu+K

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
integral e^raizuraizu,du = e^raizu + K
está correta, usando o fato de que, se F é primitiva de f, então F'=f. Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar a candidata F(u)=e^raizu+K.

Passo 2

Calculemos F'(u) com F(u)=e^raizu+K. Pela regra da cadeia, se g(u)=raizu então g'(u)=tfrac12raizu e
F'(u) = ddul(e^raizur) = e^raizucdot g'(u) = e^raizucdot 12raizu = e^raizu2raizu
Isso mostra que a derivada de e^raizu é
tfrace^raizu2raizu,
enquanto o integrando original é tfrace^raizuraizu.

Passo 3

Comparando, vemos que
F'(u)=e^raizu2raizu neq e^raizuraizu
Falta um fator 2. Portanto a primitiva dada está incorreta. A primitiva correta de tfrace^raizuraizu é
2,e^raizu + K,
pois
ddul(2e^raizur) =2cdote^raizu2raizu =e^raizuraizu

Resposta

A integral dada está incorreta. A primitiva correta é
integral e^raizuraizu,du = 2,e^raizu + K

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