Use o conceito de primitiva (derivando) de uma função para verificar se as seguintes integrais estão corretas.
integral sen(3 x)1+cos (3 x) d x=-ln |1+cos (3 x)|3+K

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função -tfrac13lnlvert1+cos(3x)rvert+K de fato é uma primitiva de sin(3x)1+cos(3x). Para isso, aplicaremos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo.

Passo 2

Calculamos a derivada de -tfrac13lnlvert1+cos(3x)rvert. Usando regra da cadeia e ddxl(lnlvert ur)=tfracu'u, temos:
ddxl(-tfrac13lnlvert1+cos(3x)rvertr) = -tfrac13cdot11+cos(3x)cdotl(-sin(3x)cdot3r) = sin(3x)1+cos(3x)

Passo 3

Observe que a derivada obtida coincide exatamente com o integrando sin(3x)1+cos(3x). Logo, a função proposta é de fato uma primitiva.

Resposta

A primitiva está correta.

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