Calcule as seguintes integrais:
(a) integral tg^5 x cdot sec ^2 d x;
(b) integral tg^3 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais indefinidas integral tan^5 x cdot sec^2 x ,dx e integral tan^3 x ,dx. O conteúdo principal envolve técnicas de substituição e uso da identidade tan^2 x = sec^2 x -1.

Passo 2

Para (a), note que a derivada de tan x é sec^2 x, então fazemos a substituição
u = tan x, du = sec^2 x ,dx
Assim, a integral vira
integral tan^5 x cdot sec^2 x ,dx = integral u^5 ,du

Passo 3

Integramos integral u^5,du usando a regra de potência:
integral u^5,du = u^66 + C
Voltando à variável x, obtemos para (a)
tan^6 x6 + C

Passo 4

Para (b), usamos a identidade tan^2 x = sec^2 x -1, de onde
tan^3 x = tan x cdot tan^2 x = tan x,(sec^2 x -1) = tan x,sec^2 x - tan x
Então
integral tan^3 x,dx = integral tan x,sec^2 x,dx ;-;integral tan x,dx

Passo 5

Na primeira parte de (b), fazemos u=tan x, du=sec^2 x,dx, logo
integral tan x,sec^2 x,dx = integral u,du = u^22 = tan^2 x2
Na segunda parte, usamos a primitivação padrão
integral tan x,dx = -lnl|cos xr| + C

Passo 6

Juntando os resultados de (b) e absorvendo constantes,
integral tan^3 x,dx = tan^2 x2 + lnl|cos xr| + C

Resposta

(a) tan^6 x6 + C
(b) tan^2 x2 + lnl|cos xr| + C

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