Use o conceito de primitiva (derivando) de uma função para verificar se as seguintes integrais estão corretas.
integral arctg(x) d x=x arctg(x)-ln (x^2+1)2+K

Passo 1

O enunciado nos dá como candidata a primitiva
F(x)=x,arctg(x)-12lnl(x^2+1r)+K
e pede para verificar se de fato ddxF(x)=arctg(x). Para isso vamos usar a regra do produto, a derivada de arctg(x) e a derivada de ln.

Passo 2

Calculamos a derivada de x,arctg(x) pela regra do produto. Sejam u(x)=x e v(x)=arctg(x). Então
u'(x)=1, v'(x)=11+x^2,
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ddxl(x,arctg(x)r) =;u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =;arctg(x)+x1+x^2

Passo 3

Agora derivamos -tfrac12lnl(x^2+1r) usando regra da cadeia.
ddx!l(-tfrac12ln(x^2+1)r) =-tfrac12cdot1x^2+1cdot2x =-xx^2+1

Passo 4

Somando as duas derivadas obtidas:
F'(x) =arctg(x)+x1+x^2 -xx^2+1 =arctg(x)
Como F'(x)=arctg(x), a primitiva está correta.

Resposta

A integral está correta.

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