Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral raiz2+1x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de primitivas da função
f(x)=raiz2+1x^3
e em seguida verificar a resposta derivando. O conteúdo usado é a linearidade da integral (somar primitivas de cada termo) e a regra da potência para integrais.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
integrall(raiz2+1x^3r),dx =integralraiz2,dx+integral x^-3,dx
Usando a regra da integral de constante e a regra da potência:
integralraiz2,dx=raiz2,x,
integral x^-3,dx =x^-2-2 =-12x^2
Assim, uma primitiva geral é
F(x)=raiz2,x-12x^2+C

Passo 3

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) =ddxl(raiz2,xr) -ddxl(tfrac12x^-2r) =raiz2 -tfrac12,l(-2r)x^-3 =raiz2+1x^3,
que coincide com o integrando.

Resposta

F(x)=raiz2,x-12x^2+C

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