Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras:
integral 21+x^2 d x=2 cdot arctg(x)+C.

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa questão juntos! A gente precisa verificar se a integral de $ \frac{2}{1+x^{2}} $ em relação a $ x $ é igual a $ 2 \cdot \operatorname{arctg}(x) + C $. Para isso, vamos usar o conceito de primitiva, que é basicamente encontrar uma função cuja derivada seja a função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma primitiva de uma função $ f(x) $ é uma função $ F(x) $ tal que $ F’(x) = f(x) $. No nosso caso, queremos encontrar uma função $ F(x) $ cuja derivada seja $ \frac{2}{1+x^{2}} $.

Passo 3

Sabemos que a derivada de $ \operatorname{arctg}(x) $ (que também pode ser chamada de $ \arctan(x) $) é $ \frac{1}{1+x^{2}} $. Ou seja,
arctg(x)

Passo 4

Então, se derivarmos $ 2 \cdot \operatorname{arctg}(x) $, teremos:
2 cdot arctg(x)

Passo 5

Isso mostra que a derivada de $ 2 \cdot \operatorname{arctg}(x) $ é exatamente $ \frac{2}{1+x^{2}} $. Portanto, $ 2 \cdot \operatorname{arctg}(x) + C $ é uma primitiva correta da função $ \frac{2}{1+x^{2}} $.

Resposta

Sim, a afirmação é verdadeira. A integral de $ \frac{2}{1+x^{2}} $ em relação a $ x $ é igual a $ 2 \cdot \operatorname{arctg}(x) + C $.

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