Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras:
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Passo 1
Beleza, vamos analisar essa questão juntos! A gente precisa verificar se a integral de $ \frac{2}{1+x^{2}} $ em relação a $ x $ é igual a $ 2 \cdot \operatorname{arctg}(x) + C $. Para isso, vamos usar o conceito de primitiva, que é basicamente encontrar uma função cuja derivada seja a função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma primitiva de uma função $ f(x) $ é uma função $ F(x) $ tal que $ F’(x) = f(x) $. No nosso caso, queremos encontrar uma função $ F(x) $ cuja derivada seja $ \frac{2}{1+x^{2}} $.
Passo 3
Sabemos que a derivada de $ \operatorname{arctg}(x) $ (que também pode ser chamada de $ \arctan(x) $) é $ \frac{1}{1+x^{2}} $. Ou seja,
Passo 4
Então, se derivarmos $ 2 \cdot \operatorname{arctg}(x) $, teremos:
Passo 5
Isso mostra que a derivada de $ 2 \cdot \operatorname{arctg}(x) $ é exatamente $ \frac{2}{1+x^{2}} $. Portanto, $ 2 \cdot \operatorname{arctg}(x) + C $ é uma primitiva correta da função $ \frac{2}{1+x^{2}} $.
Resposta
Sim, a afirmação é verdadeira. A integral de $ \frac{2}{1+x^{2}} $ em relação a $ x $ é igual a $ 2 \cdot \operatorname{arctg}(x) + C $.