Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras:
integral x^31+x^4 d x=14 ln |1+x^4|+C.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a seguinte integral está correta:
integral x^31+x^4 , dx = 14 ln |1+x^4| + C
Para resolver isso, vamos usar o conceito de primitiva ou antiderivada, que é basicamente encontrar uma função cuja derivada é a função que estamos integrando. Vamos precisar entender um pouquinho sobre substituição em integrais para facilitar nossa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que queremos integrar:
x^31+x^4
Perceba que o numerador é x^3 e o denominador é 1 + x^4. A gente pode simplificar essa integral usando uma técnica chamada substituição. Vamos escolher uma parte da função para ser nossa nova variável, geralmente algo que aparece tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = 1 + x^4
Agora, vamos calcular o diferencial de u em relação a x:
dudx = 4x^3 Rightarrow du = 4x^3 , dx
Isso significa que:
x^3 , dx = du4

Passo 4

Agora, vamos substituir u e du na nossa integral original:
integral x^31+x^4 , dx = integral 1u cdot du4 = 14 integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u:
integral 1u , du = ln|u| + C
Então, substituindo de volta, temos:
14 ln|u| + C

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição u = 1 + x^4, vamos substituir u de volta na expressão:
14 ln|1 + x^4| + C

Resposta

Sim, a afirmação é verdadeira. A primitiva de x^31+x^4 é realmente:
integral x^31+x^4 , dx = 14 ln |1+x^4| + C

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