Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras:
integral arcsen(x)raiz1-x^2 d x=(arcsen(x))^22+C.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se uma função cuja derivada é pode ser dada por . O conteúdo que vamos usar é o conceito de primitiva (antiderivada) e a derivada da função .

Passo 2

Primeiro, lembramos que
Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para calcular a derivada de

Passo 3

Agora calculamos
Isso mostra que ddxF(x)=ddxl(tfrac(arcsen(x))^22r) =2,arcsen(x)cdotddxl(arcsen(x)r)2 =arcsen(x)cdot1raiz1-x^2 =arcsen(x)raiz1-x^2 coincide com o integrando.

Passo 4

Como encontramos uma função F(x) cuja derivada é justamente o integrando, concluímos que

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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