Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras:
integral e^xe^x+5 d x=ln |e^x+5|+C.

Passo 1

Nesse exercício, vamos verificar se a primitiva da função f(x)=e^xe^x+5 é F(x)=ln|e^x+5|+C. O conteúdo envolve integração de funções compostas e a regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Para confirmar que F(x) é de fato uma primitiva de f(x), aplicamos a derivada de F. Usamos a regra geral: se u(x) é função diferenciável, então
ddxln|u(x)|=u'(x)u(x)
Aqui escolhemos u(x)=e^x+5.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=ddx(e^x+5)=e^x

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia temos:
F'(x)=ddxln|u(x)|=u'(x)u(x)=e^xe^x+5,
que coincide exatamente com f(x). Portanto F'(x)=f(x), o que mostra que F(x) é uma primitiva de f(x).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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