Utilize a integral tripla em coordenadas esféricas para obter o volume da esfera de raio
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o volume da esfera de raio
usando integral tripla em coordenadas esféricas.
Informações dadas: a esfera é centrada na origem e tem raio . Queremos encontrar o volume
contido em todos os pontos cuja distância à origem é menor ou igual a
.
Informações dadas: a esfera é centrada na origem e tem raio
Passo 2
Definição das coordenadas esféricas (essas são as variáveis que vamos usar):
-
é a distância do ponto até a origem (ou seja, o raio no sentido radial), com . -
é o ângulo polar, medido a partir do eixo positivo , com . -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo , com .
Relação com coordenadas cartesianas:
Passo 3
Elementos de área/volume: o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
Motivo (intuição): um pequeno incremento
ao longo da radial, um arco
na direção polar e um arco
na direção azimutal formam um paralelepípedo aproximado com volume
.
Passo 4
Determinar os limites de integração para a esfera de raio
:
- radial:
(porque estamos dentro da esfera); - polar:
(cobre do pólo norte ao pólo sul); - azimutal:
(uma volta completa no plano ).
Passo 5
Montar a integral tripla do volume usando o elemento de volume e os limites definidos:
Passo 6
Calcular a integral interna em
. A antiderivada de
em relação a
é
, logo
Passo 7
Substituindo o resultado da integral em
na integral original e fatorando constantes:
Passo 8
Calcular a integral em
:
Passo 9
Agora a integral em
é simples:
Multiplicando todos os fatores: