Utilize a integral tripla em coordenadas esféricas para obter o volume da esfera de raio a.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o volume da esfera de raio a usando integral tripla em coordenadas esféricas.
Informações dadas: a esfera é centrada na origem e tem raio a. Queremos encontrar o volume V contido em todos os pontos cuja distância à origem é menor ou igual a a.

Passo 2

Definição das coordenadas esféricas (essas são as variáveis que vamos usar):
  • \rho é a distância do ponto até a origem (ou seja, o raio no sentido radial), com \rho\ge 0.
  • \varphi é o ângulo polar, medido a partir do eixo positivo z, com 0\le \varphi\le \pi.
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x, com 0\le \theta\le 2\pi.
    Relação com coordenadas cartesianas:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.

Passo 3

Elementos de área/volume: o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
dV=\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\;d\varphi\;d\theta.
Motivo (intuição): um pequeno incremento d\rho ao longo da radial, um arco \rho\,d\varphi na direção polar e um arco \rho\sin\varphi\,d\theta na direção azimutal formam um paralelepípedo aproximado com volume \rho\cdot(\rho\,d\varphi)\cdot(\rho\sin\varphi\,d\theta)=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Determinar os limites de integração para a esfera de raio a:
  • radial: 0\le \rho\le a (porque estamos dentro da esfera);
  • polar: 0\le \varphi\le \pi (cobre do pólo norte ao pólo sul);
  • azimutal: 0\le \theta\le 2\pi (uma volta completa no plano xy).

Passo 5

Montar a integral tripla do volume usando o elemento de volume e os limites definidos:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a}\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\;d\varphi\;d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em \rho. A antiderivada de \rho^{2} em relação a \rho é \rho^{3}/3, logo
\int_{0}^{a}\rho^{2}\;d\rho=\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{a}=\frac{a^{3}}{3}.

Passo 7

Substituindo o resultado da integral em \rho na integral original e fatorando constantes:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{a^{3}}{3}\sin\varphi\;d\varphi\;d\theta=\frac{a^{3}}{3}\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\;d\varphi\right)d\theta.

Passo 8

Calcular a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\;d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1-(-1)=2.

Passo 9

Agora a integral em \theta é simples:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando todos os fatores:
V=\frac{a^{3}}{3}\cdot 2\cdot 2\pi=\frac{4\pi a^{3}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi a^{3}}{3}

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