Calcule a integral após a mudança para coordenadas esféricas:
\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \int_{0}^{\sqrt{5-y^{2}}} \int_{-\sqrt{10-x^{2}-y^{2}}}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} 3 x z^{2} d z d x d y.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \int_{0}^{\sqrt{5-y^{2}}} \int_{-\sqrt{10-x^{2}-y^{2}}}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} 3 x z^{2}\, d z\, d x\, d y.
Informações dadas (lista explícita):
  • A variável y varia em [-\sqrt{5},\sqrt{5}].
  • Para cada y, x varia em \bigl[0,\sqrt{5-y^{2}}\bigr]. Isso descreve a meia-disca no plano xy com raio \sqrt{5} e com x\ge 0.
  • Para cada (x,y), z varia de -\sqrt{10-x^{2}-y^{2}} até -\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Essas duas superfícies são:
    • z=-\sqrt{10-x^{2}-y^{2}}, que é a metade inferior da esfera de raio \sqrt{10} centrada na origem (peguei isso da expressão da integral);
    • z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é o cone inferior z=-r (onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}).
  • O integrando é 3 x z^{2}.
  • Não há imagem adicional; todas as informações necessárias estão nos limites e no integrando acima.

Passo 2

Entender a região de integração em termos geométricos (sem resolver ainda):
  • No plano xy temos a meia-disca r\le \sqrt{5} e x\ge0 (ou seja, \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] se usarmos coordenadas polares/cilíndricas).
  • Em z, os limites mostram que a região está entre a esfera de raio \sqrt{10} (metade inferior) e o cone z=-r. A interseção do cone com a esfera ocorre quando r^{2}+z^{2}=10\quad\text{e}\quad z=-r \Rightarrow 2r^{2}=10 \Rightarrow r^{2}=5,o que coincide com o raio da projeção no plano xy dada nos limites de x,y.
    Conclusão geométrica: a região é o setor do interior da esfera de raio \sqrt{10} que fica abaixo do plano z=0, limitado pelo cone z=-r (ou seja, por ângulo polar a partir do eixo +z) e restrito à metade com x\ge0.

Passo 3

Passar para coordenadas esféricas. Primeiro as definições (sempre explicando o que é cada símbolo):
  • Em coordenadas esféricas usamos \rho (distância à origem), \varphi (ângulo polar medido a partir do eixo +z) e \theta (ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo +x). As fórmulas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Determinar os limites em esféricas:
  • O cone z=-r em esféricas: \rho\cos\varphi = -\rho\sin\varphi \Rightarrow \cos\varphi = -\sin\varphi \Rightarrow \tan\varphi = -1. No intervalo \varphi\in(0,\pi) isso dá \varphi=\tfrac{3\pi}{4}. Logo a região está para \varphi\ge \tfrac{3\pi}{4} (porque queremos z\le -r, isto é, direções mais voltadas para baixo do que o cone).
  • A esfera r^{2}+z^{2}=10 é simplesmente \rho=\sqrt{10}.
  • A condição x\ge0 (vinda da escolha x\in[0,\sqrt{5-y^{2}}]) corresponde a \cos\theta\ge0, isto é \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
  • Finalmente, \rho varia de 0 até o encontro com a esfera, então \rho\in[0,\sqrt{10}].
    Portanto os limites esféricos são
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \varphi\in\left[\tfrac{3\pi}{4},\pi\right],\qquad \rho\in[0,\sqrt{10}].

Passo 4

Transformar o integrando e montar a integral em esféricas:
  • Substituindo x=\rho\sin\varphi\cos\theta e z=\rho\cos\varphi no integrando 3 x z^{2} temos
3 x z^{2} = 3\bigl(\rho\sin\varphi\cos\theta\bigr)\bigl(\rho\cos\varphi\bigr)^{2} =3\rho^{3}\sin\varphi\cos\theta\cos^{2}\varphi.
  • Multiplicando pelo jacobiano dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta obtemos o integrando completo
3\rho^{3}\sin\varphi\cos\theta\cos^{2}\varphi \;\cdot\; \rho^{2}\sin\varphi =3\rho^{5}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi\cos\theta.
  • Assim a integral fica
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi}\int_{0}^{\sqrt{10}} 3\rho^{5}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi\cos\theta \; d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 5

Separar variáveis quando possível e integrar em \theta (mais simples primeiro):
  • A função separa em produto de uma parte que depende só de \rho, outra só de \varphi e outra só de \theta, então
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos\theta\, d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) =1-(-1)=2.

Passo 6

Integrar em \rho:
  • A parte em \rho é \int_{0}^{\sqrt{10}} 3\rho^{5}\, d\rho. Calcule passo a passo:
\int_{0}^{\sqrt{10}} 3\rho^{5}\, d\rho = 3\cdot\frac{\rho^{6}}{6}\Bigg|_{0}^{\sqrt{10}} = \frac{1}{2}\bigl(\sqrt{10}\,\bigr)^{6}.
  • Como \bigl(\sqrt{10}\,\bigr)^{6} = 10^{3} = 1000, obtemos
\int_{0}^{\sqrt{10}} 3\rho^{5}\, d\rho = \frac{1}{2}\cdot 1000 = 500.

Passo 7

Agora a integral reduz para a parte em \varphi, incluindo os fatores obtidos:
  • Juntando os resultados de \theta e \rho temos fator 2\cdot 500 = 1000. Então resta calcular
1000\int_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi} \sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi\, d\varphi.
  • Usamos a identidade trigonométrica \sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi=\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2\varphi) (porque \sin(2\varphi)=2\sin\varphi\cos\varphi, então ao quadrar dá o fator 4).
  • Assim a integral vira
1000\cdot\frac{1}{4}\int_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi}\sin^{2}(2\varphi)\, d\varphi =250\int_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi}\sin^{2}(2\varphi)\, d\varphi.

Passo 8

Calcular a integral em \varphi explicitamente:
  • Use a identidade \sin^{2}u=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2u)\bigr). Aqui u=2\varphi, então
\sin^{2}(2\varphi)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(4\varphi)\bigr).
  • Portanto
250\int_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi}\sin^{2}(2\varphi)\, d\varphi =250\int_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi}\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(4\varphi)\bigr)\, d\varphi =125\int_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi}\bigl(1-\cos(4\varphi)\bigr)\, d\varphi.
  • Integramos:
\int\bigl(1-\cos(4\varphi)\bigr)\, d\varphi = \varphi - \tfrac{1}{4}\sin(4\varphi).
  • Avaliando entre \varphi=\tfrac{3\pi}{4} e \varphi=\pi:
\Bigl[\varphi - \tfrac{1}{4}\sin(4\varphi)\Bigr]_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi} = \Bigl(\pi - \tfrac{1}{4}\sin(4\pi)\Bigr) - \Bigl(\tfrac{3\pi}{4} - \tfrac{1}{4}\sin(3\pi)\Bigr) = \pi - \tfrac{3\pi}{4} = \tfrac{\pi}{4},
pois \sin(4\pi)=0 e \sin(3\pi)=0.
  • Multiplicando pelo fator 125 obtemos
125\cdot \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{125\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{125\pi}{4}

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