Calcule a integral após a mudança para coordenadas esféricas: \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \int_{0}^{\sqrt{5-y^{2}}} \int_{-\sqrt{10-x^{2}-y^{2}}}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} 3 x z^{2} d z d x d y.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \int_{0}^{\sqrt{5-y^{2}}} \int_{-\sqrt{10-x^{2}-y^{2}}}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} 3 x z^{2}\, d z\, d x\, d y.
Informações dadas (lista explícita):
A variável y varia em [-\sqrt{5},\sqrt{5}].
Para cada y, x varia em \bigl[0,\sqrt{5-y^{2}}\bigr]. Isso descreve a meia-disca no plano xy com raio \sqrt{5} e com x\ge 0.
Para cada (x,y), z varia de -\sqrt{10-x^{2}-y^{2}} até -\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Essas duas superfícies são:
z=-\sqrt{10-x^{2}-y^{2}}, que é a metade inferior da esfera de raio \sqrt{10} centrada na origem (peguei isso da expressão da integral);
z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é o cone inferior z=-r (onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}).
O integrando é 3 x z^{2}.
Não há imagem adicional; todas as informações necessárias estão nos limites e no integrando acima.
Passo 2
Entender a região de integração em termos geométricos (sem resolver ainda):
No plano xy temos a meia-disca r\le \sqrt{5} e x\ge0 (ou seja, \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] se usarmos coordenadas polares/cilíndricas).
Em z, os limites mostram que a região está entre a esfera de raio \sqrt{10} (metade inferior) e o cone z=-r. A interseção do cone com a esfera ocorre quandor^{2}+z^{2}=10\quad\text{e}\quad z=-r \Rightarrow 2r^{2}=10 \Rightarrow r^{2}=5,o que coincide com o raio da projeção no plano xy dada nos limites de x,y.
Conclusão geométrica: a região é o setor do interior da esfera de raio \sqrt{10} que fica abaixo do plano z=0, limitado pelo cone z=-r (ou seja, por ângulo polar a partir do eixo +z) e restrito à metade com x\ge0.
Passo 3
Passar para coordenadas esféricas. Primeiro as definições (sempre explicando o que é cada símbolo):
Em coordenadas esféricas usamos \rho (distância à origem), \varphi (ângulo polar medido a partir do eixo +z) e \theta (ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo +x). As fórmulas são
O cone z=-r em esféricas: \rho\cos\varphi = -\rho\sin\varphi \Rightarrow \cos\varphi = -\sin\varphi \Rightarrow \tan\varphi = -1. No intervalo \varphi\in(0,\pi) isso dá \varphi=\tfrac{3\pi}{4}. Logo a região está para \varphi\ge \tfrac{3\pi}{4} (porque queremos z\le -r, isto é, direções mais voltadas para baixo do que o cone).
A esfera r^{2}+z^{2}=10 é simplesmente \rho=\sqrt{10}.
A condição x\ge0 (vinda da escolha x\in[0,\sqrt{5-y^{2}}]) corresponde a \cos\theta\ge0, isto é \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
Finalmente, \rho varia de 0 até o encontro com a esfera, então \rho\in[0,\sqrt{10}].
Portanto os limites esféricos são
Usamos a identidade trigonométrica \sin^{2}\varphi\cos^{2}\varphi=\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2\varphi) (porque \sin(2\varphi)=2\sin\varphi\cos\varphi, então ao quadrar dá o fator 4).