Use conservação de energia e a energia total, para mostrar que a velocidade v de um objeto em uma órbita elíptica satisfaz a relação
v^2=G M(2r-1a)
Aqui r é a distância entre o corpo em órbita e o corpo central de massa M.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um objeto orbitando um corpo de massa $ M $ em uma órbita elíptica. Precisamos mostrar, usando a conservação de energia, que a velocidade $ v $ desse objeto satisfaz a relação:
M
Aqui, $ r $ é a distância entre o objeto em órbita e o corpo central, e $ a $ é o semi-eixo maior da elipse da órbita.

Passo 2

Vamos lembrar que a energia total de um objeto em órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional. A conservação de energia nos diz que essa energia total permanece constante durante toda a órbita.

Passo 3

A energia cinética ($ E_c $) de um objeto com massa $ m $ e velocidade $ v $ é dada por:
Ec
Isso representa a energia associada ao movimento do objeto.

Passo 4

A energia potencial gravitacional ($ E_p $) entre o objeto de massa $ m $ e o corpo central de massa $ M $ é dada por:
Ep
O sinal negativo indica que a força gravitacional é atrativa; ou seja, essa energia é “negativa” porque o sistema está ligado gravitacionalmente.

Passo 5

A energia total ($ E $) é a soma da energia cinética e da energia potencial:
E

Passo 6

Para uma órbita elíptica, a energia total também pode ser expressa em termos do semi-eixo maior $ a $ da elipse:
a
Essa relação nos ajuda a conectar a energia total com as características geométricas da órbita.

Passo 7

Agora, igualamos as duas expressões para a energia total:
12 m v^2 - G M mr = -G M m2 a

Passo 8

Podemos simplificar dividindo todos os termos por $ m $ (massa do objeto), já que $ m \neq 0 $:
m

Passo 9

Multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar a fração:
v^2 - 2 G Mr = -G Ma

Passo 10

Finalmente, isolamos $ v^{2} $ para obter a expressão desejada:
v^2
v^2 = 2 G Mr - G Ma

Resposta

Portanto, a velocidade $ v $ do objeto na órbita elíptica está dada por:
v

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