Use conservação de energia e a energia total, para mostrar que a velocidade
de um objeto em uma órbita elíptica satisfaz a relação
Aqui
é a distância entre o corpo em órbita e o corpo central de massa
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um objeto orbitando um corpo de massa $ M $ em uma órbita elíptica. Precisamos mostrar, usando a conservação de energia, que a velocidade $ v $ desse objeto satisfaz a relação:
Aqui, $ r $ é a distância entre o objeto em órbita e o corpo central, e $ a $ é o semi-eixo maior da elipse da órbita.
Passo 2
Vamos lembrar que a energia total de um objeto em órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional. A conservação de energia nos diz que essa energia total permanece constante durante toda a órbita.
Passo 3
A energia cinética ($ E_c $) de um objeto com massa $ m $ e velocidade $ v $ é dada por:
Isso representa a energia associada ao movimento do objeto.
Passo 4
A energia potencial gravitacional ($ E_p $) entre o objeto de massa $ m $ e o corpo central de massa $ M $ é dada por:
O sinal negativo indica que a força gravitacional é atrativa; ou seja, essa energia é “negativa” porque o sistema está ligado gravitacionalmente.
Passo 5
A energia total ($ E $) é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Passo 6
Para uma órbita elíptica, a energia total também pode ser expressa em termos do semi-eixo maior $ a $ da elipse:
Essa relação nos ajuda a conectar a energia total com as características geométricas da órbita.
Passo 7
Agora, igualamos as duas expressões para a energia total:
Passo 8
Podemos simplificar dividindo todos os termos por $ m $ (massa do objeto), já que $ m \neq 0 $:
Passo 9
Multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Passo 10
Finalmente, isolamos $ v^{2} $ para obter a expressão desejada:
Resposta
Portanto, a velocidade $ v $ do objeto na órbita elíptica está dada por: