Use a continuidade da função para calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
usando continuidade de funções. Vamos usar que seno, cosseno, soma e polinômios são funções contínuas, e que o quociente de funções contínuas (com denominador não nulo no ponto) também é contínuo.
Passo 2
Por continuidade de
, temos
$$
\lim_{x\to0}\sin\bigl(x^{2}+\sin(\cos x)\bigr)
\sin\Bigl(\lim_{x\to0}\bigl(x^{2}+\sin(\cos x)\bigr)\Bigr).
$$
Agora calculemos o limite interno:
Agora calculemos o limite interno:
Passo 3
Como soma e composição de funções contínuas é contínua,
$$
\lim_{x\to0}\bigl(x^{2}+\sin(\cos x)\bigr)
\lim_{x\to0}x^{2}+\lim_{x\to0}\sin(\cos x)
=0+\sin\bigl(\lim_{x\to0}\cos x\bigr)
=\sin(1).
=0+\sin\bigl(\lim_{x\to0}\cos x\bigr)
=\sin(1).
$$
Assim a parte de cima do quociente tende a .
Assim a parte de cima do quociente tende a
Passo 4
O denominador é também contínuo em
:
e não se anula. Portanto, o limite do quociente é o quociente dos limites.
Passo 5
Juntando tudo, obtemos
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin\bigl(x^{2}+\sin(\cos x)\bigr)}{x^{2}+1}
\frac{\sin(\sin1)}{1}
\sin(\sin1).
$$