Use a continuidade da função para calcular os seguintes limites:
lim x 0 sen(x^2+sen(cos (x)))x^2+1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0sinl(x^2+sin(cos x)r)x^2+1
usando continuidade de funções. Vamos usar que seno, cosseno, soma e polinômios são funções contínuas, e que o quociente de funções contínuas (com denominador não nulo no ponto) também é contínuo.

Passo 2

Por continuidade de sin, temos
$$
\lim_{x\to0}\sin\bigl(x^{2}+\sin(\cos x)\bigr)

\sin\Bigl(\lim_{x\to0}\bigl(x^{2}+\sin(\cos x)\bigr)\Bigr).
$$
Agora calculemos o limite interno:

Passo 3

Como soma e composição de funções contínuas é contínua,
$$
\lim_{x\to0}\bigl(x^{2}+\sin(\cos x)\bigr)

\lim_{x\to0}x^{2}+\lim_{x\to0}\sin(\cos x)
=0+\sin\bigl(\lim_{x\to0}\cos x\bigr)
=\sin(1).
$$
Assim a parte de cima do quociente tende a limxto0l(x^2+sin(cos x)r) = limxto0x^2+limxto0sin(cos x) =0+sinl(limxto0cos xr) =sin(1) .

Passo 4

O denominador é também contínuo em 0:
limxto0(x^2+1)=0^2+1=1,
e não se anula. Portanto, o limite do quociente é o quociente dos limites.

Passo 5

Juntando tudo, obtemos
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin\bigl(x^{2}+\sin(\cos x)\bigr)}{x^{2}+1}

\frac{\sin(\sin1)}{1}

\sin(\sin1).
$$

Resposta

sin(sin1)

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