Use coordenas cilíndricas para calcular integral triplaE f(x, y, z) d V, onde f e o sólido E são:
f(x, y, z)=z e E é delimitado por z=0, z=4-x^2-y^2 e interior ao cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo integral triplaE z,dV, onde o sólido E é definido por
  • a superfície inferior z=0,
  • a superfície superior z=4 - x^2 - y^2,
  • restrito ao cilindro x^2 + y^2 = 1.
    Conteúdo: mudança para coordenadas cilíndricas e integração de uma função simples em z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e o jacobiano dV = r,dz,dr,dtheta.
Os limites são
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= 1, 0 <= z <= 4 - r^2
Então o integral vira
integral triplaE z,dV = integral0^2piintegral0^1integral0^4 - r^2 z ; r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integral0^4 - r^2 z,dz = [z^22]0^4 - r^2 = (4 - r^2)^22
Substituindo de volta temos
integral triplaE z,dV = integral0^2piintegral0^1 r cdot (4 - r^2)^22,dr,dtheta

Passo 4

Expandindo o integrando em r:
r2(4 - r^2)^2 = r2(16 - 8r^2 + r^4) = 8r - 4r^3 + r^52
Então a integral em r é
integral0^1l(8r - 4r^3 + tfracr^52r),dr = l[4r^2 - r^4 + tfracr^612r]0^1 = 4 - 1 + 112 = 3 + 112 = 3712

Passo 5

Por fim, integramos em theta, multiplicando por 2pi:
integral triplaE z,dV = integral0^2pi 3712,dtheta = 3712 cdot 2pi = 37pi6

Resposta

37pi6

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