Equações diferenciais ordinárias e parciais: Se a função incógnita da equação diferencial depende de apenas uma variável, então temos um exemplo de equação diferencial ordinária. Caso contrário, teremos uma equação diferencial parcial. Verifique se a equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação:
y^{\prime \prime}-y=0 ; y(t)=e^{t}.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
y'' - y = 0
e a função candidata y(t)=e^{t}. O conteúdo envolve distinção entre equação diferencial ordinária e parcial e a verificação de que uma dada função é solução de uma equação diferencial.

Passo 2

A equação envolve derivadas de y em relação a uma única variável t. Nesse caso, chamamos de equação diferencial ordinária, pois não há derivadas parciais nem mais de um argumento independente.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y(t)=e^{t}:
y'(t)=e^{t}, \quad y''(t)=e^{t}.
Substituindo na equação:
y''(t)-y(t)=e^{t}-e^{t}=0,
portanto a igualdade é satisfeita em todos os t.

Resposta

A equação é uma equação diferencial ordinária, e y(t)=e^{t} é de fato solução de
y''-y=0.

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