Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
, sendo
, com
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a integral dupla
, onde
é a região dada por
com
. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, e vamos precisar usar as fórmulas de conversão
,
e o jacobiano.
Passo 2
Para descrever
em polares, note que
. A condição
vira
. Como
, temos
. O jacobiano da transformação é
.
Passo 3
Substituindo na integral, o integrando fica
e como
, a integral total em polares é
Passo 4
Agora fazemos a integral em
: definimos
, de modo que
e o limite em
vai de 0 a 1. Assim
Passo 5
Por fim, integramos em
: