Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
integral duplaD ln (x^2+y^2)x^2+y^2 d x d y, sendo D: 1 <= x^2+y^2 <= e^2, com y >= 0.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral dupla integral duplaD ln(x^2+y^2)x^2+y^2,dx,dy, onde D é a região dada por 1<= x^2+y^2<= e^2 com y>=0. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, e vamos precisar usar as fórmulas de conversão x=rcostheta, y=rsintheta e o jacobiano.

Passo 2

Para descrever D em polares, note que x^2+y^2=r^2. A condição 1<= r^2<= e^2 vira 1<= r<= e. Como y=rsintheta>=0, temos thetain[0,pi]. O jacobiano da transformação é dx,dy=r,dr,dtheta.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica
ln(x^2+y^2)x^2+y^2,dx,dy =ln(r^2)r^2;r,dr,dtheta =ln(r^2)r,dr,dtheta
e como ln(r^2)=2ln r, a integral total em polares é
integral0^piintegral1^e2ln rr,dr,dtheta

Passo 4

Agora fazemos a integral em r: definimos u=ln r, de modo que du=dr/r e o limite em u vai de 0 a 1. Assim
integral1^e2ln rr,dr =integral0^12u,du =l[u^2r]0^1 =1

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
integral0^pi1,dtheta=pi

Resposta

pi

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