Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
integral duplaD(x+y) d A, sendo D: x^2+y^2-2 y <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD(x+y),dA, onde a região D é dada por x^2+y^2-2y<=0. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Primeiro, identificamos a forma da região. A inequação x^2+y^2-2y<=0 pode ser escrita como x^2+(y-1)^2<=1, que é um disco de raio 1 centrado em (0,1). Em coordenadas polares temos
x^2+y^2= r^2 e y=rsintheta, substituindo na inequação:
r^2<=2rsintheta\quad e, como r>=0, temos
0<= r<=2sintheta e para sintheta>=0 obtemos 0<=theta<=pi.

Passo 3

Agora montamos a integral em polares:
x+y= rcostheta + rsintheta=r(costheta+sintheta) e dA=r,dr,dtheta. Logo
integral duplaD(x+y),dA=integraltheta=0^piintegralr=0^2sinthetar(costheta+sintheta)cdot r,dr,dtheta=integral0^piintegral0^2sinthetar^2(costheta+sintheta),dr,dtheta

Passo 4

Integramos em r:
integral0^2sinthetar^2,dr=r^33|0^2sintheta=8sin^3theta3

Passo 5

Então a integral vira
integral0^pi8sin^3theta3(costheta+sintheta),dtheta=83l(integral0^pisin^3thetacostheta,dtheta+integral0^pisin^4theta,dthetar)

Passo 6

Para a primeira parte usamos u=sintheta, daí
integral0^pisin^3thetacostheta,dtheta=integralu(0)=0^u(pi)=0u^3,du=0

Passo 7

Para a segunda parte usamos a identidade de redução
sin^4theta=3-4cos2theta+cos4theta8, logo
integral0^pisin^4theta,dtheta=18l[3pi-4cdot0+0r]=3pi8

Passo 8

Substituindo de volta temos
83l(0+3pi8r)=pi

Resposta

pi

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