Seja dada a integral dupla
Calcule a integral dupla para a função
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sendo D dado em duas partes: para
temos
e para
temos
. O conteúdo principal é troca para coordenadas polares e depois usar integração por substituição.
Passo 2
O primeiro passo é entender a forma de D no plano
. As curvas que definem D são o triângulo com vértices
e o arco de círculo
em primeira quadrante, unidos pela reta
. Isso é exatamente o setor polar de raio
e ângulo
.
Passo 3
Em coordenadas polares
a função fica
e o elemento de área é
. Assim a integral vira:
Passo 4
Agora a integral em
é
Para resolver, fazemos
, logo
e quando
,
; quando
,
. A integral vira
Passo 5
Aplicando a primitiva de
, que é
, obtemos
Passo 6
Por fim, multiplicamos pelo fator angular
. Assim