Seja dada a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y=integral0^1 integral0^x f(x, y) d y d x+integral1^raiz2 integral0^raiz2-x^2 f(x, y) d y d x
Calcule a integral dupla para a função f(x, y)=ln (1+x^2+y^2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaDlnl(1+x^2+y^2r),dx,dysendo D dado em duas partes: para 0<= x<=1 temos 0<= y<= x e para 1<= x<=raiz2 temos 0<= y<=raiz2-x^2. O conteúdo principal é troca para coordenadas polares e depois usar integração por substituição.

Passo 2

O primeiro passo é entender a forma de D no plano (x,y). As curvas que definem D são o triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1) e o arco de círculo x^2+y^2=2 em primeira quadrante, unidos pela reta y=x. Isso é exatamente o setor polar de raio raiz2 e ângulo 0<=theta<=pi/4.

Passo 3

Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta) a função fica ln(1+r^2) e o elemento de área é r,dr,dtheta. Assim a integral vira:
integral duplaDln(1+x^2+y^2),dx,dy= integraltheta=0^pi/4integralr=0^raiz2ln(1+r^2);r,dr,dtheta

Passo 4

Agora a integral em r é
I=integral0^raiz2rln(1+r^2),dr
Para resolver, fazemos u=1+r^2, logo du=2r,dr e quando r=0, u=1; quando r=raiz2, u=3. A integral vira
I=12integral1^3ln(u),du

Passo 5

Aplicando a primitiva de ln(u), que é uln u -u, obtemos
I=12l[(uln u -u)r]1^3 =12l(3ln3 -3 - (1cdot0-1)r) =12(3ln3 -2) =32ln3 -1

Passo 6

Por fim, multiplicamos pelo fator angular integral0^pi/4dtheta=pi/4. Assim
integral duplaDln(1+x^2+y^2),dx,dy=pi4l(32ln3 -1r) =3pi8ln3-pi4

Resposta

3pi8ln3 - pi4

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