Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{x{2}+y{2} \leq 1}\left(x^{2}+y\right) d A
\iint_{x{2}+y{2} \leq 1}\left(x^{2}+y\right) d A
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o disco unitário
Informações dadas:
- A região de integração é o disco
. - A função a integrar é
. - Não há outras restrições; deseja-se o valor numérico da integral.
Passo 2
Vamos passar para coordenadas polares. Primeiro, o que são coordenadas polares e por que usar aqui:
- Em coordenadas polares usa-se
para a distância do ponto à origem e para o ângulo medido a partir do eixo . - As relações entre as coordenadas cartesianas
e polares são
- Na prática, o disco
fica muito simples em polares: é .
Também é obrigatório usar o fator de escala (Jacobiano) ao trocar
por
. Intuição rápida:
- Um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente
e , então sua área é aproximadamente .
Portanto
Passo 3
Substituir no integrando. Usando
e
,
Multiplicando pelo fator
obtemos a integranda em polares:
Passo 4
Agora escrevemos a integral dupla em coordenadas polares com os limites do disco:
Aqui usei que
varia de
a
e
varia de
a
.
Passo 5
Usamos linearidade da integral para separar em duas integrais:
Denotemos
a primeira e
a segunda.
Passo 6
Calcular as integrais em
(são simples, porque integrando em
tratamos
como constante).
- Antiderivada de
é , logo
- Antiderivada de
é , logo
Passo 7
Substituindo essas integrais radiais nas integrais separadas:
Agora calculamos as integrais angulares:
- Para
use a identidade de duplicação:
Assim
A primeira parte é
. A segunda parte é zero porque
tem média zero em um período inteiro. Portanto
- Para
, a função tem integral zero sobre um período completo:
Passo 8
Substituindo os resultados angulares:
Não há outras contribuições, portanto a integral total é a soma
.