Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{x{2}+y{2} \leq 1}\left(x^{2}+y\right) d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o disco unitário
\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(x^{2}+y\right)\,dA.
Informações dadas:
  • A região de integração é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • A função a integrar é x^{2}+y.
  • Não há outras restrições; deseja-se o valor numérico da integral.

Passo 2

Vamos passar para coordenadas polares. Primeiro, o que são coordenadas polares e por que usar aqui:
  • Em coordenadas polares usa-se r para a distância do ponto à origem e \theta para o ângulo medido a partir do eixo x.
  • As relações entre as coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • Na prática, o disco x^{2}+y^{2}\le 1 fica muito simples em polares: é \{0\le r\le 1,\; 0\le \theta\le 2\pi\}.
Também é obrigatório usar o fator de escala (Jacobiano) ao trocar dA por dr\,d\theta. Intuição rápida:
  • Um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então sua área é aproximadamente r\,dr\,d\theta.
    Portanto
dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Substituir no integrando. Usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta,
x^{2}+y = r^{2}\cos^{2}\theta + r\sin\theta.
Multiplicando pelo fator dA = r\,dr\,d\theta obtemos a integranda em polares:
\bigl(r^{2}\cos^{2}\theta + r\sin\theta\bigr)\,r = r^{3}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin\theta.

Passo 4

Agora escrevemos a integral dupla em coordenadas polares com os limites do disco:
\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1}\bigl(x^{2}+y\bigr)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\bigl(r^{3}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Aqui usei que r varia de 0 a 1 e \theta varia de 0 a 2\pi.

Passo 5

Usamos linearidade da integral para separar em duas integrais:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta \quad+\quad \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.
Denotemos I_{1} a primeira e I_{2} a segunda.

Passo 6

Calcular as integrais em r (são simples, porque integrando em r tratamos \theta como constante).
  • Antiderivada de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}, logo
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left.\dfrac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{4}.
  • Antiderivada de r^{2} é \dfrac{r^{3}}{3}, logo
\int_{0}^{1} r^{2}\,dr = \left.\dfrac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{3}.

Passo 7

Substituindo essas integrais radiais nas integrais separadas:
I_{1} = \left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right) = \dfrac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta.
I_{2} = \left(\int_{0}^{1} r^{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\right) = \dfrac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta.
Agora calculamos as integrais angulares:
  • Para \cos^{2}\theta use a identidade de duplicação:
\cos^{2}\theta = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta + \dfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A primeira parte é \dfrac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi. A segunda parte é zero porque \cos(2\theta) tem média zero em um período inteiro. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.
  • Para \sin\theta, a função \sin\theta tem integral zero sobre um período completo:
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0.

Passo 8

Substituindo os resultados angulares:
I_{1} = \dfrac{1}{4}\cdot \pi = \dfrac{\pi}{4}, \qquad I_{2} = \dfrac{1}{3}\cdot 0 = 0.
Não há outras contribuições, portanto a integral total é a soma I_{1}+I_{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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