Mostre que o campo vetorial F(x, y)=x^2 i+y^2 j é conservativo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial F(x,y)=x^2,i+y^2,j é conservativo. O conteúdo principal é cálculo vetorial, mais especificamente campos conservativos e funções potencial. Para resolver, vamos usar o teste de igualdade das derivadas parciais cruzadas e, em seguida, construir a função potencial.

Passo 2

Vamos escrever F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j, onde P(x,y)=x^2 e Q(x,y)=y^2. O teste de conservatividade em um domínio simplesmente conectado (como R^2) é verificar se
partial Ppartial y=partial Qpartial x

Passo 3

Calculamos
partial Ppartial y=partialpartial y(x^2)=0,
e
partial Qpartial x=partialpartial x(y^2)=0
Como ambas as derivadas parciais são iguais, o campo passa no teste de conservatividade.
Como o domínio é R^2, que é simplesmente conectado, a igualdade acima garante que F é um campo conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial phi(x,y), usamos a condição nablaphi=F. Primeiro integramos P(x,y)=x^2 em relação a x:
phi(x,y)=integral x^2,dx=x^33+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y.
A seguir, impomos que partialphi/partial y=Q(x,y)=y^2. Calculamos
partialphipartial y=g'(y)=y^2,
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g(y)=integral y^2,dy=y^33+C,
com C constante. Substituindo em phi, obtemos a função potencial completa:
phi(x,y)=x^33+y^33+C

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é phi(x,y)=tfracx^33+tfracy^33+C.

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