Mostre que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo. O conteúdo principal é cálculo vetorial, mais especificamente campos conservativos e funções potencial. Para resolver, vamos usar o teste de igualdade das derivadas parciais cruzadas e, em seguida, construir a função potencial.
Passo 2
Vamos escrever
, onde
e
. O teste de conservatividade em um domínio simplesmente conectado (como
) é verificar se
Passo 3
Calculamos
e
Como ambas as derivadas parciais são iguais, o campo passa no teste de conservatividade.
Como o domínio é , que é simplesmente conectado, a igualdade acima garante que
é um campo conservativo.
Como o domínio é
Passo 4
Para encontrar a função potencial
, usamos a condição
. Primeiro integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
.
A seguir, impomos que . Calculamos
A seguir, impomos que
logo
com
constante. Substituindo em
, obtemos a função potencial completa:
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é
.