Use uma integral dupla para determinar a área da região da região delimitada pelo cardioide r=1-sen theta. Represente graficamente a região.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região delimitada pelo cardioide r = 1 - sintheta usando uma integral dupla em coordenadas polares e ainda esboçar graficamente essa região.

Passo 2

Em coordenadas polares, a área de uma região D é dada por A = integral duplaD ,dA = integraltheta1^theta2integralr=0^r=f(theta) r,dr,dtheta Aqui usaremos f(theta)=1-sintheta. Precisamos encontrar o intervalo de theta que percorre todo o cardioide. Como 1-sintheta>=0 para thetain[0,2pi], escolhemos 0<=theta<=2pi e 0<= r<=1-sintheta.

Passo 3

Montamos a integral em duas etapas: primeiro em r, depois em theta:
A=integral0^2pil(integral0^1-sinthetar,drr)dtheta=integral0^2pi(1-sintheta)^22,dtheta

Passo 4

Expandindo e integrando em theta:
(1-sintheta)^2=1-2sintheta+sin^2theta
Então
A=12integral0^2pil(1-2sintheta+sin^2thetar)dtheta
Sabemos que integral0^2pi1,dtheta=2pi, integral0^2pisintheta,dtheta=0 e integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi. Logo
A=12l(2pi-0+pir)=3pi2

Passo 5

Para esboçar: o cardioide r=1-sintheta tem seu ponto cuspado voltado para cima no eixo vertical, intercepta o eixo y em r=0 quando theta=pi2 e se estende até r=2 em theta=3pi2. O gráfico é a curva cardioide tradicional, simétrica em torno do eixo vertical.

Resposta

A=3pi2

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