Use uma integral dupla para determinar a área da região da região delimitada pelo cardioide
. Represente graficamente a região.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a área da região delimitada pelo cardioide
usando uma integral dupla em coordenadas polares e ainda esboçar graficamente essa região.
Passo 2
Em coordenadas polares, a área de uma região
é dada por
Aqui usaremos
. Precisamos encontrar o intervalo de
que percorre todo o cardioide. Como
para
, escolhemos
e
.
Passo 3
Montamos a integral em duas etapas: primeiro em
, depois em
:
Passo 4
Expandindo e integrando em
:
Então
Sabemos que
,
e
. Logo
Passo 5
Para esboçar: o cardioide
tem seu ponto cuspado voltado para cima no eixo vertical, intercepta o eixo
em
quando
e se estende até
em
. O gráfico é a curva cardioide tradicional, simétrica em torno do eixo vertical.