Use coordenas cilíndricas para calcular
, onde
e o sólido
são:
e
é interior ao cilindro
eà esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. Temos a função $ f(x, y, z) = 1 $ e queremos encontrar o volume do sólido $ E $, que está dentro do cilindro $ x^{2} - x + y^{2} = 0 $ e também dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter esses limites para coordenadas cilíndricas e então integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do cilindro de uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é $ x^{2} - x + y^{2} = 0 $. Vamos completar o quadrado para a variável $ x $:
Então, a equação do cilindro se torna:
Isso representa um cilindro circular de raio $ \frac{1}{2} $ centrado em $ x = \frac{1}{2} $, $ y = 0 $.
Passo 3
Agora, vamos passar para coordenadas cilíndricas, onde $ x = r \cos\theta $, $ y = r \sin\theta $ e $ z = z $. A equação do cilindro fica:
Simplificando:
Como $ r $ não pode ser zero dentro do cilindro, temos:
Então, o cilindro em coordenadas cilíndricas é dado por $ r = \cos\theta $.
Passo 4
A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ em coordenadas cilíndricas fica:
Isso nos dá os limites para $ z $ em termos de $ r $.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Como $ r = \cos\theta $, o raio $ r $ varia de 0 a $ \cos\theta $. O ângulo $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ para garantir que $ \cos\theta $ seja positivo, já que $ r $ é uma distância e não pode ser negativa. E $ z $ varia de $ -\sqrt{1 - r^{2}} $ a $ \sqrt{1 - r^{2}} $.
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, $ r , dz , dr , d\theta $ é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos integrar em relação a $ z $ primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a $ r $. Vamos fazer uma substituição para facilitar: $ u = 1 - r^{2} $, então $ du = -2r , dr $.
A integral em $ r $ se torna:
Integrando:
Como $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $, $ \sin\theta $ pode ser positivo ou negativo, mas o valor absoluto elimina o sinal.
Passo 9
A integral agora se reduz a:
Como a função $ \sin^{3}\theta $ é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico em torno de zero, a integral de $ \sin^{3}\theta $ será zero. Então, fica:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \frac{2}{3} \pi $.