Use coordenas cilíndricas para calcular integral triplaE f(x, y, z) d V, onde f e o sólido E são:
f(x, y, z)=1 e E é interior ao cilindro x^2-x+y^2=0 eà esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. Temos a função $ f(x, y, z) = 1 $ e queremos encontrar o volume do sólido $ E $, que está dentro do cilindro $ x^{2} - x + y^{2} = 0 $ e também dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter esses limites para coordenadas cilíndricas e então integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do cilindro de uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é $ x^{2} - x + y^{2} = 0 $. Vamos completar o quadrado para a variável $ x $:
x^2 - x + y^2 = 0
Então, a equação do cilindro se torna:
x
Isso representa um cilindro circular de raio $ \frac{1}{2} $ centrado em $ x = \frac{1}{2} $, $ y = 0 $.

Passo 3

Agora, vamos passar para coordenadas cilíndricas, onde $ x = r \cos\theta $, $ y = r \sin\theta $ e $ z = z $. A equação do cilindro fica:
x = r costheta
Simplificando:
y = r sintheta
z = z
(r costheta - 12)^2 + (r sintheta)^2 = (12)^2
r^2 cos^2theta - r costheta + 14 + r^2 sin^2theta = 14
Como $ r $ não pode ser zero dentro do cilindro, temos:
r^2 (cos^2theta + sin^2theta) - r costheta = 0
Então, o cilindro em coordenadas cilíndricas é dado por $ r = \cos\theta $.

Passo 4

A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ em coordenadas cilíndricas fica:
x^2 + y^2 + z^2 = 1
r^2 + z^2 = 1
Isso nos dá os limites para $ z $ em termos de $ r $.

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Como $ r = \cos\theta $, o raio $ r $ varia de 0 a $ \cos\theta $. O ângulo $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ para garantir que $ \cos\theta $ seja positivo, já que $ r $ é uma distância e não pode ser negativa. E $ z $ varia de $ -\sqrt{1 - r^{2}} $ a $ \sqrt{1 - r^{2}} $.

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE f(x, y, z) , dV = integral-pi2^pi2 integral0^costheta integral-raiz1 - r^2^raiz1 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, $ r , dz , dr , d\theta $ é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar em relação a $ z $ primeiro:
z
Então, a integral fica:
integral-raiz1 - r^2^raiz1 - r^2 dz = 2 raiz1 - r^2

Passo 8

Agora, integramos em relação a $ r $. Vamos fazer uma substituição para facilitar: $ u = 1 - r^{2} $, então $ du = -2r , dr $.
A integral em $ r $ se torna:
r
Integrando:
u = 1 - r^2
du = -2r , dr
Como $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $, $ \sin\theta $ pode ser positivo ou negativo, mas o valor absoluto elimina o sinal.

Passo 9

A integral agora se reduz a:
23 integral-pi2^pi2 (1 - sin^3theta) dtheta
Como a função $ \sin^{3}\theta $ é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico em torno de zero, a integral de $ \sin^{3}\theta $ será zero. Então, fica:
sin^3theta

Resposta

O valor da integral tripla é $ \frac{2}{3} \pi $.

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