Utilize uma mudança de variáveis para calcular a integral, onde
é a região do plano
delimitada pela elipse
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
, onde
é a elipse
. O conteúdo principal é mudança de variáveis para transformar a elipse em círculo e depois usar coordenadas polares.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis
para que a região elíptica em
vire o disco unitário
. O Jacobiano dessa transformação é
Passo 3
Substituindo na integral obtemos
Passo 4
Agora usamos coordenadas polares no plano
:
com
e
.
Passo 5
A integral fica
Para a parte radial usamos a substituição
, de modo que
E a parte angular é
.
Passo 6
Juntando tudo:
Resposta
6\pi\bigl(1-\cos(1)\bigr)