Utilize uma mudança de variáveis para calcular a integral, onde R é a região do plano x y delimitada pela elipse x^29+y^24=1.
integral duplaR sen(x^29+y^24) d A

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla integral duplaR sinl(tfracx^29+tfracy^24r),dA, onde R é a elipse x^29+y^24<=1. O conteúdo principal é mudança de variáveis para transformar a elipse em círculo e depois usar coordenadas polares.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
x=3u, y=2v
para que a região elíptica em (x,y) vire o disco unitário u^2+v^2<=1. O Jacobiano dessa transformação é
J=det3&00&2=6

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
integral duplaRsinl(tfracx^29+tfracy^24r)dA =integral duplau^2+v^2<=1sin(u^2+v^2)cdot6,du,dv

Passo 4

Agora usamos coordenadas polares no plano (u,v):
u=rcostheta, v=rsintheta, du,dv=r,dr,dtheta,
com rin[0,1] e thetain[0,2pi].

Passo 5

A integral fica
6integral0^2piintegral0^1sin(r^2),r,dr,dtheta
Para a parte radial usamos a substituição t=r^2, de modo que
integral0^1rsin(r^2),dr=12integral0^1sin(t),dt =12l(1-cos(1)r)
E a parte angular é integral0^2pidtheta=2pi.

Passo 6

Juntando tudo:
6times2pitimes12l(1-cos(1)r) =6pil(1-cos(1)r)

Resposta

6\pi\bigl(1-\cos(1)\bigr)

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