Use cortes para esboçar a superfície quádrica.
-x^24+y^2-z^24=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício para esboçarmos a superfície quádrupla dada pela equação -x^24 + y^2 - z^24 = 1. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Superfícies Quádricas, especificamente os hiperboloides. A gente vai precisar entender como fazer cortes (ou seções) dessa superfície para conseguir desenhar um esboço dela. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície quádrupla temos aqui. A equação geral é -x^24 + y^2 - z^24 = 1. Podemos reescrever isso para facilitar:
y^2 - x^24 - z^24 = 1
Comparando com a forma padrão de um hiperboloide de uma folha:
y^2a^2 - x^2b^2 - z^2c^2 = 1
Percebemos que a^2 = 1, b^2 = 4 e c^2 = 4. Então, nossa superfície é um hiperboloide de uma folha.

Passo 3

Agora, vamos fazer cortes da superfície para entender melhor sua forma. Normalmente, fazemos cortes planos paralelos aos planos coordenados (xy, yz, xz). Vamos começar com cortes paralelos ao plano yz.
Para isso, fixamos um valor de x = k e vemos como fica a equação:
y^2 - k^24 - z^24 = 1
Simplificando:
y^2 - z^24 = 1 + k^24
Isso é a equação de um hiperbola no plano yz.

Passo 4

Agora, vamos fazer cortes paralelos ao plano xz. Fixamos um valor de y = k:
k^2 - x^24 - z^24 = 1
Rearranjando:
-x^24 - z^24 = 1 - k^2
Multiplicando por -4 para simplificar:
x^2 + z^2 = 4(k^2 - 1)
Isso é a equação de um círculo no plano xz, desde que k^2 - 1 > 0, ou seja, |k| > 1.

Passo 5

Por último, vamos fazer cortes paralelos ao plano xy. Fixamos um valor de z = k:
y^2 - x^24 - k^24 = 1
Simplificando:
y^2 - x^24 = 1 + k^24
Isso também é a equação de um hiperbola no plano xy.

Resposta

Então, juntando tudo isso, o hiperboloide de uma folha -x^24 + y^2 - z^24 = 1 tem seções hiperbólicas nos planos yz e xy, e seções circulares no plano xz quando |y| > 1. O esboço dessa superfície mostra uma forma semelhante a uma sela ou a um infinito alongado em torno do eixo y, com a abertura se expandindo conforme nos afastamos do centro.

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