Use o Teste da Comparação para estudar a convergência da série abaixo.
sumn=1^infty 13 n+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty 13n+1 usando o Teste da Comparação. O conteúdo envolvido é séries de termos positivos e o Teste da Comparação Direta, além do fato de que a série harmônica sum 1/n diverge.

Passo 2

Observamos que o termo geral an = 13n+1 é sempre positivo para todo n>=1, condição necessária para aplicar o Teste da Comparação Direta.

Passo 3

Para comparar com uma série conhecida, notamos que para n>=1 vale
3n + 1 <= 4n
Logo,
13n+1 >= 14n = 14,1n

Passo 4

Sabemos que a série
sumn=1^infty 14,1n = 14 sumn=1^infty 1n
diverge, pois é um múltiplo constante da série harmônica. Pelo Teste da Comparação Direta (se an >= bn>0 e sum bn diverge, então sum an também diverge), concluímos que a série dada diverge.

Resposta

A série diverge.

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