Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação no Limite para determinar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}+n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}+n^{2}+1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge usando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação no Limite. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n^{4}+n^{2}+1}.
  • A série é uma série de termos positivos (cada a_n>0 para todo n\ge1).
  • Devemos decidir convergência ou divergência aplicando um dos critérios de comparação.

Passo 2

Observação útil (intuição para escolher a comparação): para n grande o termo dominante no denominador n^{4}+n^{2}+1 é n^{4}, então espera-se que a_n se comporte como \dfrac{1}{n^{4}} quando n\to\infty. Isso sugere comparar a_n com a série p
\sum_{n=1}^{\infty} b_n \quad\text{onde}\quad b_n=\dfrac{1}{n^{4}}.
Aqui b_n é a chamada série p com p=4.

Passo 3

Relembrando o resultado sobre séries p (fórmula/conceito usado): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Nesta questão temos p=4, e portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{4}}
converge (porque 4>1). Vou usar o Critério da Comparação no Limite (Limit Comparison Test) para relacionar \sum a_n com \sum b_n.

Passo 4

Aplico o Critério da Comparação no Limite. Defino explicitamente:
a_n=\dfrac{1}{n^{4}+n^{2}+1},\qquad b_n=\dfrac{1}{n^{4}}.
Calculo o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{n^{4}+n^{2}+1}}{\dfrac{1}{n^{4}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{4}}{n^{4}+n^{2}+1}.
Para avaliar esse limite, divido numerador e denominador por n^{4}:
\frac{n^{4}}{n^{4}+n^{2}+1}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{4}}}.
Como \dfrac{1}{n^{2}}\to0 e \dfrac{1}{n^{4}}\to0 quando n\to\infty, segue
L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{4}}}=\frac{1}{1+0+0}=1.

Passo 5

Interpretação do resultado do limite: obtivemos L=1, que é um número finito e estritamente positivo. O Critério da Comparação no Limite diz que se
0<\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L<\infty,
então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento — ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem. Como já sabemos que \sum b_n=\sum 1/n^{4} converge (por ser série p com p=4>1), concluímos que \sum a_n=\sum \dfrac{1}{n^{4}+n^{2}+1} também converge.

Resposta

A série converge.

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