Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação no Limite para determinar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge usando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação no Limite. Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
. - A série é uma série de termos positivos (cada
para todo ). - Devemos decidir convergência ou divergência aplicando um dos critérios de comparação.
Passo 2
Observação útil (intuição para escolher a comparação): para
grande o termo dominante no denominador
é
, então espera-se que
se comporte como
quando
. Isso sugere comparar
com a série p
Aqui
é a chamada série p com
.
Passo 3
Relembrando o resultado sobre séries p (fórmula/conceito usado): a série
converge se, e somente se,
. Nesta questão temos
, e portanto a série
converge (porque
). Vou usar o Critério da Comparação no Limite (Limit Comparison Test) para relacionar
com
.
Passo 4
Aplico o Critério da Comparação no Limite. Defino explicitamente:
Calculo o limite
Para avaliar esse limite, divido numerador e denominador por
:
Como
e
quando
, segue
Passo 5
Interpretação do resultado do limite: obtivemos
, que é um número finito e estritamente positivo. O Critério da Comparação no Limite diz que se
então as séries
e
têm o mesmo comportamento — ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem. Como já sabemos que
converge (por ser série p com
), concluímos que
também converge.
Resposta
A série converge.