Em cada item, verifique que a função que estende o termo geral da série atende às hipóteses do Critério da Integral e em seguida use este critério para determinar a natureza da série.
\sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar as hipóteses do Critério da Integral para a série
\sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right),
ou seja:
  • identificar uma função f(x) que estende o termo geral a_n=\dfrac{1}{n-3}-\dfrac{1}{n} para x\ge 4;
  • verificar que f é contínua, positiva e decrescente em [4,\infty) (hipóteses do Critério da Integral);
  • calcular a integral imprópria \displaystyle\int_{4}^{\infty} f(x)\,dx e usar o resultado para determinar a natureza da série (convergente ou divergente).
As informações dadas: a expressão do termo geral \dfrac{1}{n-3}-\dfrac{1}{n} válida para n\ge 4.

Passo 2

Definimos a função que estende o termo geral:
f(x)=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x},\qquad x\ge 4.
Vou checar as hipóteses do Critério da Integral para f.
Continuidade: para x\ge 4 não temos singularidades (os pontos problemáticos seriam x=0 e x=3, mas estão fora do intervalo [4,\infty)), então f é contínua em [4,\infty).
Sinal (positividade): simplifico f(x):
f(x)=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x-3)}{x(x-3)}=\frac{3}{x(x-3)}.
Para x\ge 4 temos x>0 e x-3>0, logo x(x-3)>0. Portanto \dfrac{3}{x(x-3)}>0. Conclusão: f(x)>0 para todo x\ge 4.
Monotonicidade (decrescimento): calculo a derivada de f. Usando f(x)=\dfrac{3}{x(x-3)},
f'(x) = -3\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x(x-3)}\right) = -3\frac{2x-3}{(x(x-3))^2}.
Para x\ge 4 temos 2x-3>0 e (x(x-3))^2>0, então f'(x)<0 para x\ge 4. Logo f é decrescente em [4,\infty).
Assim, f é contínua, positiva e decrescente em [4,\infty): as hipóteses do Critério da Integral estão satisfeitas.

Passo 3

Agora calculo a integral imprópria \displaystyle\int_{4}^{\infty} f(x)\,dx. Como já escrevemos f(x)=\dfrac{3}{x(x-3)}, faço frações parciais:
procuro constantes A,B tais que
\frac{3}{x(x-3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}.
Multiplicando por x(x-3) obtemos
3 = A(x-3)+Bx = (A+B)x -3A.
Comparando coeficientes: A+B=0 e -3A=3. Daí A=-1 e B=1. Portanto
\frac{3}{x(x-3)}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-3}.
Então a integral imprópria é
\int_{4}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{4}^{\infty}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}\right)\,dx.
Faço a integral até um limite R e depois levo R\to\infty:
\int_{4}^{R}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}\right)\,dx =\big[\ln|x-3|-\ln|x|\big]_{x=4}^{x=R}.
Avalio os extremos:
\big(\ln(R-3)-\ln R\big)-\big(\ln(4-3)-\ln 4\big) =\ln\!\left(\frac{R-3}{R}\right)-\ln\!\left(\frac{1}{4}\right) =\ln\!\left(4\cdot\frac{R-3}{R}\right).
Agora faço R\to\infty. Observando \dfrac{R-3}{R}\to 1 quando R\to\infty, o limite da integral é
\lim_{R\to\infty}\ln\!\left(4\cdot\frac{R-3}{R}\right)=\ln 4,
que é finito. Portanto a integral imprópria converge (o valor da integral é \ln 4).

Passo 4

Aplicando o Critério da Integral: como f é contínua, positiva e decrescente em [4,\infty) e \displaystyle\int_{4}^{\infty} f(x)\,dx converge (é finita), a série \displaystyle\sum_{n=4}^{\infty} a_n tem a mesma natureza da integral, ou seja, é convergente.
Observação adicional (útil para a prova): esta série é também telescópica e podemos calcular sua soma exata. Para N\ge 4 o somatório parcial é
S_N=\sum_{n=4}^{N}\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right) =\sum_{k=1}^{N-3}\frac{1}{k}-\sum_{n=4}^{N}\frac{1}{n} =H_{N-3} - (H_N-H_3),
onde H_m é o m-ésimo número harmônico. Simplificando,
S_N = H_3 -\left(\frac{1}{N-2}+\frac{1}{N-1}+\frac{1}{N}\right).
Como \dfrac{1}{N-2}+\dfrac{1}{N-1}+\dfrac{1}{N}\to 0 quando N\to\infty, segue que a soma da série é \lim_{N\to\infty}S_N=H_3. Como
H_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6},
a soma da série é \dfrac{11}{6}. (Essa parte não era exigida pelo Critério da Integral, mas é um cálculo rápido e confirma a convergência.)

Resposta

A série é convergente; soma = \dfrac{11}{6}.

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