Em cada item, verifique que a função que estende o termo geral da série atende às hipóteses do Critério da Integral e em seguida use este critério para determinar a natureza da série.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar as hipóteses do Critério da Integral para a série
ou seja:
- identificar uma função
que estende o termo geral para ; - verificar que
é contínua, positiva e decrescente em (hipóteses do Critério da Integral); - calcular a integral imprópria
e usar o resultado para determinar a natureza da série (convergente ou divergente).
As informações dadas: a expressão do termo geral
válida para
.
Passo 2
Definimos a função que estende o termo geral:
Vou checar as hipóteses do Critério da Integral para
.
Continuidade: para
não temos singularidades (os pontos problemáticos seriam
e
, mas estão fora do intervalo
), então
é contínua em
.
Sinal (positividade): simplifico
:
Para
temos
e
, logo
. Portanto
. Conclusão:
para todo
.
Monotonicidade (decrescimento): calculo a derivada de
. Usando
,
Para
temos
e
, então
para
. Logo
é decrescente em
.
Assim,
é contínua, positiva e decrescente em
: as hipóteses do Critério da Integral estão satisfeitas.
Passo 3
Agora calculo a integral imprópria
. Como já escrevemos
, faço frações parciais:
procuro constantes tais que
procuro constantes
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
e
. Daí
e
. Portanto
Então a integral imprópria é
Faço a integral até um limite
e depois levo
:
Avalio os extremos:
Agora faço
. Observando
quando
, o limite da integral é
que é finito. Portanto a integral imprópria converge (o valor da integral é
).
Passo 4
Aplicando o Critério da Integral: como
é contínua, positiva e decrescente em
e
converge (é finita), a série
tem a mesma natureza da integral, ou seja, é convergente.
Observação adicional (útil para a prova): esta série é também telescópica e podemos calcular sua soma exata. Para
o somatório parcial é
onde
é o
-ésimo número harmônico. Simplificando,
Como
quando
, segue que a soma da série é
. Como
a soma da série é
. (Essa parte não era exigida pelo Critério da Integral, mas é um cálculo rápido e confirma a convergência.)
Resposta
A série é convergente; soma =
.